函数的凹凸性与拐点——二阶导数的几何意义

从一个问题开始

两条都在上升的曲线，形状却可以完全不同。 $y = x^2$ 在 $x > 0$ 上像一只碗，越往外张得越开；$y = \sqrt{x}$ 像一道山坡，越爬越平。一阶导数只会说"上升"，说不出这层区别——要描述"弯曲"，得请出二阶导数。

定义：什么叫"弯"

弦在上还是在下

"弯"这件事，用一根弦就能测出来。 在曲线上任取两点连成一条弦：弦在曲线的上方，曲线向上弯（像碗），叫凹函数；弦在曲线的下方，曲线向下弯（像山丘），叫凸函数。

这个定义全是图形，好懂，却没法拿来做题，所以要把它翻译成能运算的版本。另外先提醒一句：不同教材对"凹""凸"两个字的分配可能正好相反，本讲始终用向上弯叫凹、向下弯叫凸这一套，结尾专门讲这桩公案的来龙去脉。

切线定义：曲线和切线谁高谁低

把"两点"收缩成"一点"，弦就成了切线。 于是上面的定义有等价的版本：曲线始终在它的切线上方（向上弯，凹），或始终在它的切线下方（向下弯，凸）。这个版本正是"切线放缩"的几何来源——向上弯的函数图像，永远托在切线之上。

二阶导数定义：把"弯"变成一个符号

"在切线上方"这件事，翻译成符号，就一句话： $f''(x) > 0$ 向上弯（凹），$f''(x) < 0$ 向下弯（凸）。

三个定义讲的是同一件事，只是角度不同：弦看的是"两点之间"，切线看的是"一点附近"，二阶导数看的是"符号"。考场上能算的只有第三个。一阶导数管方向，二阶导数管"方向的变化率"——就像位置的一阶导是速度、二阶导是加速度；斜率变化得越快，曲线弯得越明显。

示意图

深入理解

二阶导数为什么能描述弯曲

把 $y = x^2$ 验一遍，符号和形状对得上： $f''(x) = 2 > 0$，是向上弯，与看到的"碗"一致。再把几个基本函数摆在一起，顺手记住一组结论：

函数	$f''(x)$	弯曲方向
$y = x^2$	$2 > 0$	向上弯（凹）
$y = e^x$	$e^x > 0$	向上弯（凹）
$y = \ln x$	$-\dfrac{1}{x^2} < 0$	向下弯（凸）
$y = \sqrt{x}$	$-\dfrac{1}{4x^{3/2}} < 0$	向下弯（凸）

规律很清楚：指数函数、次数大于 1 的幂函数通常向上弯；对数、开方这类"长得越来越慢"的函数则向下弯。 说白了，增速在加快就向上弯，在放缓就向下弯。

换个角度，二阶导数就是"以直代曲"的修正项。 第 2 讲说过，切线是曲线在某点的直线替身。一阶导数只保证这条替身在切点贴住曲线，二阶导数则决定"贴住之后往哪边偏"：$f'' > 0$ 偏向上方，$f'' < 0$ 偏向下方。

拐点：定义与三步判定

拐点是凹凸性的分界点，和极值点是两个层面的事。 曲线从向上弯翻成向下弯（或反过来）的那个点，叫拐点。区别在于：极值点由一阶导数变号决定，拐点由二阶导数变号决定。

判定拐点，走三步：

1. 求 $f''(x)$；
2. 解 $f''(x) = 0$，并找出 $f''(x)$ 不存在的点——这些都是候选拐点；
3. 检验每个候选点两侧 $f''(x)$ 是否变号：变号才是拐点。

第 3 步是全部的关键，也最容易被省掉。 反面教材就在这里：$y = x^4$ 有 $y'' = 12x^2$，$y''(0) = 0$，可两侧都是正的、没有变号，所以 $(0,0)$ 根本不是拐点——它是曲线的最低点。"二阶导数为零"只是有嫌疑，"左右变号"才定罪。

把这三步压缩成两条结论： $f''(x_0) = 0$，或者 $f''(x_0)$ 不存在，是拐点的必要条件；$f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号，才是拐点的充分条件。这两句话，正好就是上面的第 2、3 步——记住"必要"只负责筛出候选，"充分"才负责拍板。

算例一：基本幂函数与指数函数

先从不用动笔的看起。 $y = e^x$：$y'' = e^x > 0$，整条曲线向上弯。$y = \ln x$：$y'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$，整条曲线向下弯。$y = \sqrt{x}$：$y'' = -\dfrac{1}{4x^{3/2}} < 0$，也是整条向下弯。

三者的二阶导数符号从头到尾不变，所以它们"从头弯到尾"，没有拐点——只有 $f''$ 会变号的函数才可能有拐点。

别忘了定义域。 $\ln x$ 只在 $x > 0$ 上有定义，$\sqrt{x}$ 只在 $x \ge 0$ 上有定义，讨论凹凸性时不能越过定义域乱说——"整条曲线向下弯"，指的是定义域内的那一段。

顺手验一条切线不等式。 $y = e^x$ 向上弯，曲线应在切线上方；它在 $x = 0$ 处的切线是 $y = 1 + x$，所以对一切 $x$ 有 $e^x \ge 1 + x$。代两个值：$x = -1$ 时左边约 $0.368$、右边 $0$；$x = 1$ 时左边约 $2.718$、右边 $2$，都成立。这条不等式第 8 讲用求最值证过，这里从"曲线在切线上方"一眼看出。

算例二：需要解 $f''(x) = 0$ 才算得出的

看一个真要动笔的：求 $f(x) = x^4 - 4x^3$ 的凹凸区间与拐点。

先求二阶导数：

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2, \qquad f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$

令 $f''(x) = 0$，得候选点 $x = 0$ 和 $x = 2$。这两个零点把数轴切成三段，列表判号：

$x$	$(-\infty,0)$	$0$	$(0,2)$	$2$	$(2,+\infty)$
$f''(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
弯曲方向	向上弯（凹）	—	向下弯（凸）	—	向上弯（凹）

纵坐标：$f(0) = 0$，$f(2) = 16 - 32 = -16$。

结论：在 $(-\infty,0)$ 与 $(2,+\infty)$ 上向上弯，在 $(0,2)$ 上向下弯；拐点是 $(0,0)$ 与 $(2,-16)$。 两个候选点都变了号，所以都是真拐点。不过要清醒：这里是运气，$y = x^4$ 就是掉队的反例。核对符号： $f''(-1) = 36 > 0$、$f''(1) = -12 < 0$、$f''(3) = 36 > 0$，正负正，与表格一致。

算例三：拐点不是极值点

这对概念名字里都带"转折"，最容易混，拿 $f(x) = x^3$ 说清楚。 $f'(x) = 3x^2$，$f''(x) = 6x$。$f''$ 在 $x = 0$ 两侧变号（左负右正），所以 $(0,0)$ 是拐点。

它是不是极值点？不是。 $f'(x) = 3x^2 \ge 0$ 处处成立，函数在 $\mathbb{R}$ 上一直递增，$x = 0$ 两侧都在往上走（$-1 \to -0.125 \to 0.125 \to 1$），没有"先升后降"，所以不是极值点。

同一个点既是拐点、又不是极值点，并不矛盾，因为两者由不同的方程决定：极值点要找 $f'(x) = 0$，拐点要找 $f''(x) = 0$，两个方程的根一般并不相同。

反过来，驻点也可能是极值点。 $g(x) = x^4 - 2x^2$：$g'(0) = 0$，而 $g''(0) = -4 < 0$，所以 $x = 0$ 是极大值点，此时 $g'' \neq 0$，不是拐点。判据： 驻点处 $f''(x_0) \neq 0$ 必是极值点（$f'' > 0$ 取极小、$f'' < 0$ 取极大）；$f''(x_0) = 0$ 时才要看一阶导数在两侧变不变号，而这时它往往正是拐点。

为什么叫"凹"和"凸"

"凹""凸"是象形字，可曲线向上弯（碗形）到底该叫哪个，两种说法都能自圆其说——碗的内壁是凹的，碗底外沿又是鼓的。英文里对应 concave 与 convex：concave 出自拉丁语词根 cavus（凹陷，与 cave"洞穴"同源），convex 出自 convehere（拱起），本都只描述形状。中文早期译本照形状译成"凹""凸"，后来不同教材又把方向安得相反，才留下"这本书的凹是那本书的凸"的经典混乱。 对策只有一句：认符号、认图形，别认名字——$f'' > 0$ 就是碗形，$f'' < 0$ 就是山丘形。

Jensen 不等式：凹凸性的"总闸门"

凹凸性最深的用途，是把"平均值"和"函数值"接起来。 对向上弯（$f'' \ge 0$）的函数，任取两点 $x_1, x_2$ 和权重 $\lambda \in [0,1]$：

$$f\bigl(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2\bigr) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$$

左边是"先平均、再算函数值"，右边是"先算函数值、再平均"，不等式说左边不超过右边，等号当且仅当 $x_1 = x_2$。取 $\lambda = \frac{1}{2}$，得最常用的中点形式：

$$f\!\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

这个式子就是"弦在曲线上方"：右边是中点处的弦高，左边是中点处的曲线高。Jensen 不等式与凹凸性，是一枚硬币的两面。

向下弯的函数，不等号反过来。 取 $f(x) = \ln x$（$f'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$）：

$$\ln\frac{a+b}{2} \ge \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

这就是基本不等式：算术平均不小于几何平均，而它的根子，就是 $\ln x$ 向下弯。 试一组：$a = 3$、$b = 12$，左边 $7.5$，右边 $6$，成立。再用向上弯的 $f(x) = x^2$ 验一次：$\dfrac{a^2 + b^2}{2} \ge \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$，取 $a = 2$、$b = 7$：左边 $26.5$，右边 $20.25$，成立。一条 Jensen，把好几个基本不等式一网打尽。

凹凸性在不等式放缩中的用途

放缩的本质是"用一条简单曲线盖住复杂曲线"，而凹凸性恰好告诉你该往哪边盖：

• 向上弯的函数，用切线垫底。 曲线在切线上方，切线是简单的直线，可以当下界。例如 $e^x \ge 1 + x$（在 $x = 0$ 处的切线）、$e^x \ge ex$（在 $x = 1$ 处的切线）。
• 向下弯的函数，用切线封顶。 曲线在切线下方，切线可以当上界。例如 $\ln x \le x - 1$（在 $x = 1$ 处的切线）、$\ln x \le \dfrac{x}{e}$（在 $x = e$ 处的切线）。
• 弦则负责两端的夹逼。 一端曲线、一端弦，向上弯时弦封两端、曲线垫中间，向下弯时反过来——Jensen 型放缩就是从这条夹缝里长出来的。

归纳成一句口诀：向上弯——切线垫底、弦封顶；向下弯——切线封顶、弦垫底。 记住它，很多压轴题里"该往哪个方向放"就有了方向感，不必反复试错。还要看等号在哪：切线放缩的等号只在切点取得，离切点越远近似越松，这往往是整道题能不能收口的关键。

举个真用它的例子。 要证 $x > 0$ 时 $\ln(1+x) < x$：由切线不等式 $\ln u \le u - 1$ 令 $u = 1 + x$，得 $\ln(1+x) \le x$，而等号只在 $u = 1$、即 $x = 0$ 时取得，所以 $x > 0$ 时严格成立。一条现成的切线不等式，把结论直接送上门。

在高中数学体系里的位置

凹凸性在新课标里属于"选讲 / 拓展"内容，不是必考主干，但它离主干一点也不远。 从三个维度看：

• 作为思想的延伸：一阶导数定"方向"，二阶导数定"弯曲"，是"用导数逐层刻画函数"这条线的自然延长；学完它，"导数能干什么"才算说完整。
• 作为运算的练兵场：解 $f''(x) = 0$、列表判变号，动作和求单调区间一模一样，只是对象从 $f'$ 换成 $f''$。
• 作为综合题的常客：不等式证明里的切线放缩、极值点的性质分析，背后站的都是凹凸性；不少压轴题第二问，一句话点破就是"这里用了凸性"。

一句话定位：必考未必，常用其实。 概念不清会实实在在地吃亏（最常见的坑就是把拐点当成极值点），但也不必为它专门刷题。

思考与拓展

1. 判断 $y = \ln x$ 的凹凸性，写出它在 $x = 1$ 处的切线，并用这条切线证明 $\ln x \le x - 1$。
2. 求 $y = x^4 - 4x^3$ 的拐点；再想想：换成 $y = x^4$ 为什么就没有拐点了？
3. 从几何上解释，为什么 $f''(x) > 0$ 意味着曲线在切线上方？
4. $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处有 $f'(0) = f''(0) = 0$。请分别用一阶、二阶导数的符号变化，说明"它不是极值点"和"它是拐点"这两件事。
5. 用 $f(x) = x^2$ 的凹凸性证明 $\dfrac{a^2 + b^2}{2} \ge \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$，并指出等号什么时候成立。

高考母题

（2017·山东） 已知函数 $f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -\frac { 1 } { 2 }ax ^ { 2 } ,a∈R$ .
(I)当a=2时,求曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { 3,f\left ( { 3 } \right ) } \right )$ 处的切线方程；
(II)设函数 $g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )+\left ( { x-a } \right )cosx-sinx$ ,讨论 $g\left ( { x } \right )$ 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

展开详解

（Ⅰ） $3x-y-9=0$ ；
（Ⅱ）见解析． 试题分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）由 $g'\left ( { x } \right )=(x-a)(x-sinx)$ ,通过讨论确定 $g\left ( { x } \right )$ 的单调性,再由单调性确定极值. 试题解析：
（Ⅰ）由题意 $f'(x)=x ^ { 2 } -ax$ ， 所以，当 $a=2$ 时， $f(3)=0$ ， $f'(x)=x ^ { 2 } -2x$ ， 所以 $f'(3)=3$ ， 因此，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3,f(3))$ 处的切线方程是 $y=3(x-3)$ ， 即 $3x-y-9=0$ .
（Ⅱ）因为 $g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx$ ， 所以 $g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx$ ， $=x(x-a)-(x-a)sinx$ $=(x-a)(x-sinx)$ ， 令 $h(x)=x-sinx$ ， 则 $h'(x)=1-cosx≥0$ ， 所以 $h(x)$ 在 $R$ 上单调递增， 因为 $h(0)=0$ ， 所以，当 $x>0$ 时， $h(x)>0$ ；当 $x < 0$ 时， $h(x) < 0$ .
（1）当 $a < 0$ 时， $g'(x)=(x-a)(x-sinx)$ ， 当 $x∈(-∞,a)$ 时， $x-a < 0$ ， $g'(x)>0$ ， $g(x)$ 单调递增； 当 $x∈(a,0)$ 时， $x-a>0$ ， $g'(x) < 0$ ， $g(x)$ 单调递减； 当 $x∈(0,+∞)$ 时， $x-a>0$ ， $g'(x)>0$ ， $g(x)$ 单调递增. 所以当 $x=a$ 时 $g(x)$ 取到极大值，极大值是 $g(a)=-\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } -sina$ ， 当 $x=0$ 时 $g(x)$ 取到极小值，极小值是 $g(0)=-a$ .
（2）当 $a=0$ 时， $g'(x)=x(x-sinx)$ ， 当 $x∈(-∞,+∞)$ 时， $g'(x)≥0$ ， $g(x)$ 单调递增； 所以 $g(x)$ 在 $(-∞,+∞)$ 上单调递增， $g(x)$ 无极大值也无极小值.
（3）当 $a>0$ 时， $g'(x)=(x-a)(x-sinx)$ ， 当 $x∈(-∞,0)$ 时， $x-a < 0$ ， $g'(x)>0$ ， $g(x)$ 单调递增； 当 $x∈(0,a)$ 时， $x-a < 0$ ， $g'(x) < 0$ ， $g(x)$ 单调递减； 当 $x∈(a,+∞)$ 时， $x-a>0$ ， $g'(x)>0$ ， $g(x)$ 单调递增. 所以当 $x=0$ 时 $g(x)$ 取到极大值，极大值是 $g(0)=-a$ ； 当 $x=a$ 时 $g(x)$ 取到极小值，极小值是 $g(a)=-\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } -sina$ . 综上所述： 当 $a < 0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-∞,a)$ 和 $(0,+∞)$ 上单调递增，在 $(a,0)$ 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 $g(a)=-\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } -sina$ ，极小值是 $g(0)=-a$ ； 当 $a=0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-∞,+∞)$ 上单调递增，无极值； 当 $a>0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-∞,0)$ 和 $(a,+∞)$ 上单调递增，在 $(0,a)$ 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 $g(0)=-a$ ，极小值是 $g(a)=-\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } -sina$ . 【考点】
导数的几何意义及导数的应用 【名师点睛】
(1)求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．

一句话总结

二阶导数定弯曲：大于零向上弯（凹），小于零向下弯（凸），左右变号的零点才是拐点；切线放缩与 Jensen 不等式，都从这条性质长出来。