第11讲 含参函数的单调性讨论——分类讨论的艺术

为什么含参函数这么难

不含参的函数，导数的零点固定，单调区间固定，直接分析就行。

含参的函数，导数的零点随参数变化，零点可能：

• 不存在（导数恒正或恒负）
• 存在一个（重根情况）
• 存在两个或多个
• 零点在区间内或区间外

每种情况对应的单调性都不一样，需要逐一讨论。

分类的标准

找分界点——让导数的"性质"发生变化的参数值。

常见的分界点来源：

1. 判别式 $\Delta = 0$（二次方程的根的情况变化）
2. 零点落入定义域边界（从外部进入内部）
3. 导数本身的符号发生变化

经典例题

讨论函数 $f(x) = x^3 - 3ax$ 的单调性。

解：$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$。

情况一：$a \le 0$

$x^2 - a \ge 0$ 对所有 $x$ 成立，$f'(x) \ge 0$。$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

情况二：$a > 0$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = \pm\sqrt{a}$。

x	$(-\infty, -\sqrt{a})$	$-\sqrt{a}$	$(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$	$\sqrt{a}$	$(\sqrt{a}, +\infty)$
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大	↘	极小	↗

所以：递增区间 $(-\infty, -\sqrt{a})$ 和 $(\sqrt{a}, +\infty)$，递减区间 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$。

示意图

含参最值问题

求 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $[a, a+2]$ 上的最小值（$a$ 为参数）。

解：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。极值点 $x = \pm 1$。

区间 $[a, a+2]$ 的长度固定为 2，但位置随 $a$ 变化。需要讨论极值点是否在区间内：

1. $a + 2 < -1$ 即 $a < -3$：区间在极小值点左侧，$f$ 递增，最小值 $f(a)$
2. $a < -1$ 且 $a+2 > -1$ 即 $-3 \le a < -1$：极小值点在区间内，最小值 $f(-1)$
3. $a > 1$：区间在极大值点右侧，$f$ 递增，最小值 $f(a)$
4. $a < 1$ 且 $a+2 > 1$ 即 $-1 \le a < 1$：极大值点在区间内，需要比较端点值

这个例子说明：含参最值问题的关键是看极值点是否落入区间，以及区间端点与极值点的相对位置。

讨论的完备性

分类讨论必须不重不漏。检验方法：

1. 所有可能的情况是否都考虑到了？
2. 各情况之间是否有重叠？
3. 边界情况（等号）是否处理正确？

在高中数学体系里的位置

含参函数的单调性讨论是高考导数大题的核心题型之一，通常作为第一问或第二问。

难点不在于求导（求导谁都会），而在于分类的完整性和边界的准确性。建议养成"先画图后讨论"的习惯——画几个典型图像，帮助理解不同参数下的情况。

思考与拓展

1. 讨论 $f(x) = x^3 - 3x + a$ 在不同 $a$ 值下零点个数的变化。
2. 求 $f(x) = e^x - ax$ 的单调区间（$a$ 为参数）。
3. 已知 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1$ 在 $[0, 2]$ 上的最小值为 $-4$，求 $a$。
4. 你能总结出含参函数单调性讨论的一般步骤吗？

一句话总结

含参讨论的核心：找到让导数性质变化的"临界参数值"，然后分区讨论。画图是最好的检查工具。