导数与不等式证明——单调性的威力

作差构造、导数定号、端点归零——三步证不等式

核心思路

证明不等式最稳的办法，就是把两边搬到一起做差。 要证 $f(x) \ge g(x)$ 在区间 $I$ 上恒成立，只要证 $h(x) = f(x) - g(x) \ge 0$ 在 $I$ 上恒成立。不等式里"大于""小于"的纠缠，到此变成一个函数的最小值够不够大的问题。

为什么做差之后就有路可走？ 因为 $h(x) \ge 0$ 等价于"$h$ 在这段区间上的最小值不小于零"，而最小值要么在端点取到，要么在导数为零的点取到，两种情况都算得出来。验证一大堆 $x$ 的活儿，就此压缩成算一个具体的数。

做差法的四步流程

流程固定，一步不能跳，顺序也不能乱。

1. 移项构造差函数。 把不等式整理成 $h(x) = f(x) - g(x) \ge 0$（或者 $\le 0$）的样子，顺手写清定义域。定义域不是形式主义：对数要求真数为正，分式要求分母不为零；定义域写错，后面全部作废。
2. 求导。 算出 $h'(x)$，能因式分解就因式分解，能通分就通分。判号靠的是一块块因式的正负，一个乱糟糟的分式看不出任何东西。
3. 定出最小值。 解 $h'(x) = 0$ 找分界点，列表写出 $h$ 的增减，找出它在定义域上的最小值。有时最小值点算不出具体数值，能看出它非负也行。
4. 判定符号，收尾。 把最小值和零比大小：最小值 $\ge 0$，不等式成立；再说明等号在哪个点取得。

第 4 步里最容易被省掉的是"等号在哪儿取"。 题目写的是严格的 $>$，那就要交代清楚最小值点是不是落在区间内部、最小值是不是真的等于零。

经典例题

证明：当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x$。

先做差，再求导，一步不多。 构造 $f(x) = e^x - 1 - x$，则

$$f'(x) = e^x - 1$$

当 $x > 0$ 时，$e^x > e^0 = 1$，所以 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。又 $f(0) = e^0 - 1 - 0 = 0$，所以当 $x > 0$ 时 $f(x) > f(0) = 0$，即 $e^x > 1 + x$。证毕。

这条不等式的画面是一条切线。 曲线 $y = e^x$ 在 $x = 0$ 处的切线是 $y = 1 + x$，不等式说这条切线整条都待在曲线下方。所以这一类叫"切线型不等式"。$e^x \ge 1 + x$ 和下一节的 $\ln x \le x - 1$ 是一对，后面证明复杂不等式时经常拿它们当垫脚石。

验一下。 取 $x = 1$，左边 $e \approx 2.718$、右边 $2$；取 $x = 0.5$，左边 $e^{0.5} \approx 1.649$、右边 $1.5$；取 $x = 2$，左边 $e^2 \approx 7.389$、右边 $3$。三处都是左边大，而且差距越拉越开。

更复杂的例子

证明：当 $x > 0$ 时，$\ln x < x - 1$。

差函数的最小值不一定在端点，也可能落在区间内部。 构造 $f(x) = x - 1 - \ln x$，定义域是 $(0, +\infty)$，求导：

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$$

分母在定义域上恒为正，判号只看分子。 当 $0 < x < 1$ 时分子为负，$f'(x) < 0$，$f$ 递减；当 $x > 1$ 时分子为正，$f'(x) > 0$，$f$ 递增。所以 $f$ 在 $x = 1$ 处取最小值：

$$f(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0$$

最小值是零，说明 $f(x) \ge 0$ 恒成立，也就是 $\ln x \le x - 1$。 等号只在 $x = 1$ 取到，所以 $x \neq 1$ 时是严格的 $\ln x < x - 1$。

这条不等式同样是切线的语言。 曲线 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线正是 $y = x - 1$。把 $x$ 换成 $x + 1$，得到 $\ln(x + 1) < x$，意思是"对数的增长比直线还慢"——这一条在后面处理数列不等式时是主力。

验一下。 取 $x = 2$，$\ln 2 \approx 0.693 < 1$；取 $x = 0.5$，$\ln 0.5 \approx -0.693$，而右边 $0.5 - 1 = -0.5$，确实 $-0.693 < -0.5$；取 $x = 1$，两边都是 $0$，正好取等。

含指数与多项式的混合

指数和多项式搅在一起，求一次导常常还看不出符号，这时候要沉住气再求一次。 看一个经典题。

证明：当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$。

照流程先做差。 构造

$$h(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$$

定义域是 $(0, +\infty)$。求导：

$$h'(x) = e^x - 1 - x$$

导数里还留着一个指数减一次式，正负看不出来。 好在这个式子的样子很眼熟——它正是上一个例题里被证明"恒大于零"的那个函数。当 $x > 0$ 时 $e^x > 1 + x$，所以 $h'(x) > 0$，$h$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。又

$$h(0) = 1 - 1 - 0 - 0 = 0$$

所以当 $x > 0$ 时 $h(x) > h(0) = 0$，不等式成立。

这道题的关键是"借用前一步的结论"。 求出 $h'(x)$ 之后，不必硬算它的符号，认出它就是证过的 $e^x - 1 - x$ 就够了。认不出来也不要紧，再求一次导就能办掉：设 $u(x) = e^x - 1 - x$，$u'(x) = e^x - 1$ 在 $x > 0$ 时为正，$u$ 递增，而 $u(0) = 0$，同样得到 $u(x) > 0$。

验一下。 取 $x = 0.5$，左边 $e^{0.5} \approx 1.6487$、右边 $1 + 0.5 + 0.125 = 1.625$；取 $x = 1$，左边 $e \approx 2.718$、右边 $1 + 1 + 0.5 = 2.5$；取 $x = 2$，左边 $7.389$、右边 $1 + 2 + 2 = 5$。差值依次约 $0.024$、$0.218$、$2.389$，一路拉大，和"递增"对得上。

两种变形手法：换元与局部构造

题目的式子一乱，硬做差当然也能做，但容易算断手；换个字母、换条思路，往往两三行就下来。 两种手法最常用。

手法一：换元

换元的本质，是把"到处都是 $x$"的式子变成"只剩一个字母"的式子。

证明：当 $x > 0$ 时，$\ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) > \dfrac{1}{x + 1}$。

直接做差的话，左边是对数套分式、右边是分式，求导之后一地碎片。 观察形状：两边出现的都是 $\dfrac{1}{x}$。令

$$t = \frac{1}{x} \qquad (t > 0)$$

不等式立刻变成 $\ln(1 + t) > \dfrac{t}{1 + t}$，干净多了。构造

$$\varphi(t) = \ln(1 + t) - \frac{t}{1 + t}$$

求导：

$$\varphi'(t) = \frac{1}{1 + t} - \frac{(1 + t) - t}{(1 + t)^2} = \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{(1 + t)^2} = \frac{t}{(1 + t)^2}$$

当 $t > 0$ 时分子为正、分母为正，$\varphi'(t) > 0$，$\varphi$ 递增；又 $\varphi(0) = \ln 1 - 0 = 0$，所以 $t > 0$ 时 $\varphi(t) > 0$，原不等式成立。

换元时必须盯住新字母的取值范围。 这里 $x > 0$ 换出 $t > 0$，端点、等号情形都要跟着换算，绝不能把 $x$ 的范围直接抄成 $t$ 的范围。

手法二：局部构造

有些题里不等式的一边好处理、另一边干脆是个常数，那就不必费劲把两边都做成函数。 只研究"复杂的那一边"，求出它的最值，拿最值和常数比大小。

证明：当 $x > 0$ 时，$\dfrac{e^x}{x} \ge e$。

右边是常数，省掉做差，直接研究左边的最小值。 设

$$g(x) = \frac{e^x}{x}, \qquad x > 0$$

求导：

$$g'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x (x - 1)}{x^2}$$

$x > 0$ 时 $e^x > 0$、$x^2 > 0$，符号由 $x - 1$ 决定：$0 < x < 1$ 时 $g' < 0$，递减；$x > 1$ 时 $g' > 0$，递增。所以 $g$ 在 $x = 1$ 处取最小值

$$g(1) = \frac{e}{1} = e$$

最小值就是 $e$，于是 $g(x) \ge e$ 对一切 $x > 0$ 成立，等号在 $x = 1$ 取得。

这种手法不必强求"做差"，只要确定一边的最小值就够了。 看到右边挂着一个常数，先问一句它是谁的最小值，往往能省掉一半计算。

放缩法的运用

有时候要证的不等式根本做不出干净的差函数，那就先把它换成一道更大的题来做。 只要放大之后的不等式成立，原不等式自然成立；这一步叫放缩，方向一定不能反。最典型的场景是数列求和型的不等式。

证明：对一切正整数 $n$，都有 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} < 2$。

左边是 $n$ 项之和，做差做不出来，得先把每一项捏小。 对 $k \ge 2$ 放缩：

$$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} \qquad (k \ge 2)$$

右边长成"裂项"的形状，求和时会前后抵消。 于是

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} \right) = 1 + \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = 2 - \frac{1}{n} < 2$$

不等式成立。

放缩的方向判断是这道题的要害。 要证"左边 $< 2$"，就把左边放大成 $2 - \dfrac{1}{n}$，只要放大之后仍小于 $2$，原式就更小于 $2$。方向写反、把左边改小，那就推不出原式小于 $2$——这一步走错，整道题失效。

放缩和求导常常配在一起用：先放缩，再用导数证明放缩出来的式子。 比如下面这条数列不等式：

$$\ln n < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n - 1} \qquad (n \ge 2)$$

它的做法是：对 $k \ge 1$，把 $\ln x < x - 1$ 里的 $x$ 换成 $1 + \dfrac{1}{k}$，得到 $\ln\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) < \dfrac{1}{k}$；再令 $k = 1, 2, \ldots, n - 1$ 逐项相加：

$$\ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \cdots + \ln \frac{n}{n - 1} < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n - 1}$$

左边合并成 $\ln n$，右边就是调和和，不等式得证。"切线型不等式"加"逐项相加"，是高考数列不等式最常见的骨架。

双变量不等式：先化成一个变量

题目里一旦同时出现两个字母，第一件事就是想方设法降成一个字母。 双变量不等式的通法就是换元降元。

设 $a > b > 0$，证明：$\dfrac{a - b}{\ln a - \ln b} < \dfrac{a + b}{2}$。

左边既有差又有对数，直接无从下手，先把两个字母变成一个。 令 $t = \dfrac{a}{b}$，由 $a > b > 0$ 得 $t > 1$，且 $\ln a - \ln b = \ln t$。原不等式两边同除以正数 $b$，等价于

$$\frac{t - 1}{\ln t} < \frac{t + 1}{2}$$

又 $\ln t > 0$，两边同乘 $2\ln t$，等价于

$$2(t - 1) < (t + 1)\ln t$$

到这一步就是单变量的做差题了。 构造

$$F(t) = (t + 1)\ln t - 2(t - 1), \qquad t > 1$$

求导：

$$F'(t) = \ln t + (t + 1)\cdot\frac{1}{t} - 2 = \ln t + 1 + \frac{1}{t} - 2 = \ln t + \frac{1}{t} - 1$$

$t > 1$ 时 $\ln t > 0$，可 $\dfrac{1}{t} - 1$ 是负的，符号依旧看不出，再求一次导。 记 $G(t) = \ln t + \dfrac{1}{t} - 1$，则

$$G'(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} = \frac{t - 1}{t^2}$$

$t > 1$ 时 $G'(t) > 0$，$G$ 递增；而 $G(1) = \ln 1 + 1 - 1 = 0$，所以 $t > 1$ 时 $G(t) > 0$，即 $F'(t) > 0$，$F$ 递增。又 $F(1) = 2 \cdot \ln 1 - 0 = 0$，故 $t > 1$ 时 $F(t) > 0$，不等式成立。

双变量、换元、二次求导三样都用上了，这道题是双变量题的标本。 规律可以记住：先换元降成一元，化简之后再用老流程做差求导；一阶导看不出符号，就求二阶导。

验一下。 取 $a = 2$、$b = 1$：左边 $= \dfrac{1}{\ln 2} \approx 1.443$，右边 $= 1.5$，左边小。取 $a = 5$、$b = 2$：左边 $= \dfrac{3}{\ln 2.5} \approx 3.274$，右边 $= 3.5$，仍是左边小。

含参数的不等式

不等式里带上一个参数，问题的味道就变了：不再是"成不成立"，而是"参数取什么值才成立"。 方法不变，还是做差求导，只是要按参数分类。

已知 $f(x) = e^x - ax - 1 \ge 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，求 $a$ 的取值范围。

先求导。 由 $f'(x) = e^x - a$，定义域是整个实数轴。

当 $a \le 0$ 时，$e^x > 0$ 而 $-a \ge 0$，于是 $f'(x) = e^x - a > 0$ 对所有 $x$ 成立，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增。又 $f(0) = 1 - 0 - 1 = 0$，所以当 $x < 0$ 时 $f(x) < f(0) = 0$，条件被破坏。$a \le 0$ 全部淘汰。

当 $a > 0$ 时，令 $f'(x) = 0$ 得 $x = \ln a$。$f$ 在 $(-\infty, \ln a)$ 上递减、在 $(\ln a, +\infty)$ 上递增，在 $x = \ln a$ 处取最小值：

$$f(\ln a) = e^{\ln a} - a\ln a - 1 = a - a\ln a - 1$$

要求最小值不小于零，即

$$a - a\ln a - 1 \ge 0$$

这个不等式又成了一道单变量的最值题。 设 $g(a) = a(1 - \ln a)$（$a > 0$），求导：

$$g'(a) = (1 - \ln a) + a \cdot \left( -\frac{1}{a} \right) = 1 - \ln a - 1 = -\ln a$$

$0 < a < 1$ 时 $-\ln a > 0$，$g$ 递增；$a > 1$ 时 $-\ln a < 0$，$g$ 递减。所以 $g$ 在 $a = 1$ 处取最大值

$$g(1) = 1 \times (1 - 0) = 1$$

最大值恰好等于 $1$，而条件要求 $a(1 - \ln a) \ge 1$，两头一挤只能取等，即 $a = 1$。

回过头看，这道题把"分类讨论参数"和"求最值"串成了两级台阶：第一级讨论 $a$ 的正负，决定函数有没有转折点；第二级求 $a(1 - \ln a)$ 的最大值，定出唯一的出口。

验一下。 $a = 1$ 时 $f(x) = e^x - x - 1$，正是本章开头证过的恒非负，条件成立；$a = 0.5$ 时最小值 $f(\ln 0.5) = 0.5 - 0.5 \times (-0.693) - 1 \approx -0.153 < 0$，不成立；$a = 2$ 时最小值 $= 2 - 2 \times 0.693 - 1 \approx -0.386 < 0$，也不成立。只有 $a = 1$ 过关。

常见错误

做差法不难，难的是别在最简单的地方翻车。 两个坑最常见。

错误一：两边随便平方

平方会改变大小关系的传递方向，负数一平方，谁大谁小就反了。 最简单的反例是 $-3 < 2$，平方之后成了 $9 < 4$，一眼就荒谬。

放到不等式证明里，这个错误常常藏得很深。 比如由 $x > -1$ 两边平方得到 $x^2 > 1$，解集就从 $(-1, +\infty)$ 缩成了 $(1, +\infty)$——拿 $x = 0$ 检验：原式成立，平方之后 $0 > 1$ 却是假的。只要被平方的式子可能取到负值，这一步就不许走；真要平方，得先证两边都非负，或者分正负两种情况讨论。

错误二：忘了定义域

定义域错了，后面写得再漂亮也不算分。 求最小值必须发生在这个函数的定义域上。

对数、分式一出现，第一件事就是把定义域钉死。 研究含 $\ln x$ 的差函数，区间只能是 $(0, +\infty)$；要是 $f'(x) = 0$ 解出的点落在定义域外面（比如解出 $x = -1$），它在本题里根本不管用，分界点得回到端点上去找。含参数的题更容易出事：$x = \ln a$ 是 $f'$ 的零点，可它落在增区间还是减区间，取决于 $a$ 与 $1$ 谁大谁小，这一步不讨论清楚，后面的最值就是空谈。

还有一个隐蔽的变体：把区间端点的值当成最小值。 单调性没看清就断言"最小值在端点取到"，端点值一算恰好小于零，却又和图像对不上。老老实实列表判号就能绕开。

在高中数学体系里的位置

导数证明不等式是高考压轴题的常见形式，难度在整章里排前三。 它要求的能力是复合的：会用导数求单调性、极值、最值，会观察不等式的形状去构造差函数，还要在参数出现时分类讨论。从知识链条上看，它是导数应用的总出口——单调性、极值、最值这三块知识，在这里第一次被当成工具，去解决一个"本身不含导数"的问题。

从考查角度看，几个固定的落点反复出现： 用切线型不等式证明更复杂的不等式、用裂项放缩证明数列不等式、双变量换元降元、含参数不等式求参数范围。骨架都是构造函数、求导、判号、收尾，差别只在构造的手法和讨论的分寸。核心思想一句话不变：构造函数 → 求导 → 分析单调性 → 得出最值 → 证明不等式。

不等式和函数是同一件事的两副面孔。 一个恒成立的不等式就是一个函数的非负性，检查非负性就看最小值。

思考与拓展

1. 证明：当 $x > 0$ 时，$\sin x < x$。（提示：构造 $F(x) = x - \sin x$，求导后利用余弦的取值范围。）
2. 证明：当 $x > 0$ 时，$x - \dfrac{x^3}{6} < \sin x < x$。（提示：两边各构造一个差函数，左边那个要连求两次导。）
3. 已知 $f(x) = \ln x - ax + 1$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒有 $f(x) \le 0$，求 $a$ 的取值范围。（提示：先求导定出最大值点，再让最大值不超过零。）
4. 你能用导数证明 $\sqrt{n} < 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$（$n \ge 2$）吗？（提示：左端逐项与 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 比较，$n \ge 2$ 时至少有一项严格大；右端对 $k \ge 2$ 放缩 $\dfrac{1}{\sqrt{k}} < \dfrac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k - 1}} = 2\left( \sqrt{k} - \sqrt{k - 1} \right)$，再裂项相加。）
5. 设 $x_1 > x_2 > 0$，证明 $\dfrac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} < \dfrac{x_1 + x_2}{2}$。（提示：这就是本讲对数平均不等式的原形，令 $t = \dfrac{x_1}{x_2}$。）

高考母题

（2021·北京） 已知函数 $f\left ( { x } \right )=\frac { 3-2x } { x ^ { 2 } +a }$ ．
（1）若 $a=0$ ，求曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { 1,f\left ( { 1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程；
（2）若 $f\left ( { x } \right )$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f\left ( { x } \right )$ 的单调区间，以及其最大值与最小值．

展开详解

（1） $4x+y-5=0$ ；
（2）函数 $f\left ( { x } \right )$ 的增区间为 $\left ( { -∞,-1 } \right )$ 、 $\left ( { 4,+∞ } \right )$ ，单调递减区间为 $\left ( { -1,4 } \right )$ ，最大值为 $1$ ，最小值为 $-\frac { 1 } { 4 }$ . 【分析】
（1）求出 $f\left ( { 1 } \right )$ 、 $f'\left ( { 1 } \right )$ 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 $f'\left ( { -1 } \right )=0$ 可求得实数 $a$ 的值，然后利用导数分析函数 $f\left ( { x } \right )$ 的单调性与极值，由此可得出结果.
（1）当 $a=0$ 时， $f\left ( { x } \right )=\frac { 3-2x } { x ^ { 2 } }$ ，则 $f'\left ( { x } \right )=\frac { 2\left ( { x-3 } \right ) } { x ^ { 3 } }$ ， $∴f\left ( { 1 } \right )=1$ ， $f'\left ( { 1 } \right )=-4$ ， 此时，曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { 1,f\left ( { 1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程为 $y-1=-4\left ( { x-1 } \right )$ ，即 $4x+y-5=0$ ；
（2）因为 $f\left ( { x } \right )=\frac { 3-2x } { x ^ { 2 } +a }$ ，则 $f'\left ( { x } \right )=\frac { -2\left ( { x ^ { 2 } +a } \right )-2x\left ( { 3-2x } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +a } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 2\left ( { x ^ { 2 } -3x-a } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +a } \right ) ^ { 2 } }$ ， 由题意可得 $f'\left ( { -1 } \right )=\frac { 2\left ( { 4-a } \right ) } { \left ( { a+1 } \right ) ^ { 2 } }=0$ ，解得 $a=4$ ， 故 $f\left ( { x } \right )=\frac { 3-2x } { x ^ { 2 } +4 }$ ， $f'\left ( { x } \right )=\frac { 2\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-4 } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +4 } \right ) ^ { 2 } }$ ，列表如下： $x$ $\left ( { -∞,-1 } \right )$ $-1$ $\left ( { -1,4 } \right )$ $4$ $\left ( { 4,+∞ } \right )$ $f'\left ( { x } \right )$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f\left ( { x } \right )$ 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数 $f\left ( { x } \right )$ 的增区间为 $\left ( { -∞,-1 } \right )$ 、 $\left ( { 4,+∞ } \right )$ ，单调递减区间为 $\left ( { -1,4 } \right )$ . 当 $x < \frac { 3 } { 2 }$ 时， $f\left ( { x } \right )>0$ ；当 $x>\frac { 3 } { 2 }$ 时， $f\left ( { x } \right ) < 0$ . 所以， $f\left ( { x } \right )_{ max } =f\left ( { -1 } \right )=1$ ， $f\left ( { x } \right )_{ min } =f\left ( { 4 } \right )=-\frac { 1 } { 4 }$ .

一句话总结

不等式证明的本质是构造差函数，用导数证明差函数非负。关键是会构造、会讨论、会放缩。