第8讲 导数与不等式证明——单调性的威力

核心思路

证明不等式 $f(x) \ge g(x)$ 在区间 $I$ 上恒成立，等价于证明 $h(x) = f(x) - g(x) \ge 0$ 在 $I$ 上恒成立。

方法是：构造函数 $h(x)$，求导，用单调性证明 $h(x)$ 的最小值 $\ge 0$。

经典例题

证明：当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x$。

构造 $f(x) = e^x - 1 - x$，则 $f'(x) = e^x - 1$。

当 $x > 0$ 时，$e^x > 1$，所以 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。

又 $f(0) = 0$，所以当 $x > 0$ 时 $f(x) > f(0) = 0$，即 $e^x > 1 + x$。证毕。

更复杂的例子

证明：当 $x > 0$ 时，$\ln x < x - 1$。

构造 $f(x) = x - 1 - \ln x$，$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$。

当 $x > 1$ 时 $f'(x) > 0$（递增），当 $0 < x < 1$ 时 $f'(x) < 0$（递减）。

$f(x)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值 $f(1) = 0$。

所以当 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ 时，$f(x) > 0$，即 $\ln x < x - 1$。

注意：$x = 1$ 时等号成立。

放缩法的运用

有时候直接构造函数不够，需要先放缩再构造。

比如要证明 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} < 2$，可以放缩：

$$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \quad (k \ge 2)$$

然后裂项相消求和。

含参数的不等式

已知 $f(x) = e^x - ax - 1 \ge 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，求 $a$ 的取值范围。

解：$f'(x) = e^x - a$。

当 $a \le 0$ 时，$f'(x) > 0$ 对所有 $x$ 成立，$f$ 递增，$f(0) = 0$，所以当 $x < 0$ 时 $f(x) < 0$，不满足条件。

当 $a > 0$ 时，令 $f'(x) = 0$ 得 $x = \ln a$。$f$ 在 $(-\infty, \ln a)$ 递减，在 $(\ln a, +\infty)$ 递增。

最小值 $f(\ln a) = a - a\ln a - 1 \ge 0$，即 $a(1 - \ln a) \ge 1$。

令 $g(a) = a(1 - \ln a)$，求 $g(a)$ 的最大值……

这类题的关键是分类讨论参数，找到使不等式成立的条件。

在高中数学体系里的位置

导数证明不等式是高考压轴题的常见形式。难度较高，需要较强的构造能力和分类讨论能力。

核心思想不变：构造函数 → 求导 → 分析单调性 → 得出最值 → 证明不等式。

思考与拓展

1. 证明：当 $x > 0$ 时，$\sin x < x$。
2. 证明：当 $x > 0$ 时，$x - \dfrac{x^3}{6} < \sin x < x$。
3. 已知 $f(x) = \ln x - ax + 1$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒有 $f(x) \le 0$，求 $a$ 的取值范围。
4. 你能用导数证明 $\sqrt{n} < 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$ 吗？

一句话总结

不等式证明的本质是构造差函数，用导数证明差函数非负。关键是会构造、会讨论、会放缩。