函数与导数 · 第 7 讲 · 2026-10-01 · 约 8 分钟

导数与函数的最值——全局最优的寻找

极值是局部的，最值是全局的。在闭区间上求最值，只要比较所有极值和端点值——三个数中最高的就是最大值，最低的就是最小值。

闭区间最值 = 端点值与内部极值一起比较

最值问题的本质

最值这件事，说穿了就是在全体候选人里挑最高和最矮。 函数在某个区间上的最大值，就是这段区间里函数值最大的那一个；最小值就是函数值最小的那一个。听着简单，真正难的地方在于"全体候选人"到底有几位——很多人眼睛只盯着山峰和山谷，却忘了区间两端的门口还各站着一位。

先吃一颗定心丸：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数，一定取得到最大值和最小值。 这条性质叫闭区间上连续函数的最值定理。为什么它成立？直觉地讲，连续就意味着图像一笔画下去不断线，闭区间又有头有尾、长度有限；一笔不断、有头有尾的曲线，必然能升到一个实实在在的最高点，也能落到一个实实在在的最低点。

这颗定心丸的意义在于：它告诉我们最值一定存在，所以你要做的不是怀疑"有没有"，而是把它找出来。

不过定理的两个条件一个都不能松：

要连续：函数若在某处断开，就可能一路飙升却在断点前"够不着"顶点。比如 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 上不连续，它没有最大值。
要闭区间：区间若是开的，两端够不着。比如 $f(x)=x$ 在 $(0, 1)$ 上，最大值想取 $1$ 却永远取不到。

闭区间、连续，两个条件都在，最值就稳稳存在，接下来的方法才有底气。

最值不是极值

最值看全体，极值看邻居。 这是本讲最容易糊成一团的一对概念，我们把它们摆在一起比：

极值（局部）：只在某一点的"附近"比周围都大或都小，是家门口的局部冠军。一个函数可以有好几个极大值、好几个极小值。
最值（整体）：在整个考察区间里排第一，是全体冠军。闭区间上，最大值、最小值各自至多一个。

两者的联系是：区间内部的极值点是"候选人之一"，但冠军不一定出在极值点——很可能出在区间端点。反过来说，一个极大值完全可能不是最大值，因为别处还藏着更高的山峰。一句话记牢：极值管的是局部，最值管的是全局。

求最值的标准流程

方法很机械，关键是不漏人。 在闭区间 $[a, b]$ 上求连续函数 $f(x)$ 的最值，按下面五步走：

求导数 $f'(x)$ ，解方程 $f'(x)=0$ ，得到所有驻点；
找出区间内所有不可导点（导数不存在、但函数有定义的点）；
把落在开区间 $(a, b)$ 内的驻点、不可导点挑出来，再加上两个端点 $a, b$ ，凑齐全部候选点；
逐个算出这些候选点的函数值 $f(a)$ 、 $f(b)$ 以及各内部候选点的值；
数值最大的即最大值，最小的即最小值，并写清在哪个点取到。

第 2 步是很多人会漏的。导数不存在的点，也可能是最值点。 最典型的是 $f(x)=|x|$ ： $x=0$ 处图像是个尖角，导数不存在，可 $x=0$ 恰恰就是它的最小值点。再看 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ ，同样在 $x=0$ 处不可导，却在那里取得最小值 $0$ 。

所以候选点一共三类：驻点、不可导点、区间端点，合起来常叫"临界点"。求最值，就是在这些临界点里比大小。三类少算任一类，答案都可能翻车。

别把不可导点漏掉

拐角虽然不光滑，照样能当头。 求导这条路在尖角处断了，方程 $f'(x)=0$ 自然解不出这个点，它就被悄悄漏掉。稳妥的做法是：动笔求导之前先扫一眼，函数在区间上有没有"打折"的地方——绝对值、分段函数的分界、开偶次方根处，都是高发区。把它们单独记下来，和驻点放进同一张表里比，就万无一失了。

例题

先做一道规矩题，把流程走顺。 求

f(x)=x^3-3x^2-9x+5

在 $[-2, 4]$ 上的最大值和最小值。

解：第一步，求导、找驻点。

f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

令 $f'(x)=0$ ，得驻点 $x=-1$ 与 $x=3$ 。这个函数处处可导，没有不可导点；两个驻点又都落在 $(-2, 4)$ 内，全部保留。

第二步，把候选点 $x=-2$ 、 $-1$ 、 $3$ 、 $4$ 的函数值逐个算出：

f(-2)=3,\quad f(-1)=10,\quad f(3)=-22,\quad f(4)=-15

第三步，比较这四个数：最大的 $10$ ，最小的 $-22$ 。

于是， $f(x)$ 在 $[-2, 4]$ 上的最大值是 $10$ （在 $x=-1$ 处取到），最小值是 $-22$ （在 $x=3$ 处取到）。

这道题里，最大值恰好也是极大值、最小值恰好也是极小值——那只是这回运气好，端点值 $3$ 和 $-15$ 刚好夹在中间。别因此养成"只算极值就够"的错觉，下一节就来拆穿它。

端点值的陷阱

只算极值不算端点，是最常见的一处失分。 换一个函数看看：求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[-2, 4]$ 上的最值。

求导得 $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ ，驻点为 $x=-1$ 与 $x=1$ 。若只顾着算驻点：

f(-1)=2,\qquad f(1)=-2

很容易顺手写下"最大值 $2$ 、最小值 $-2$ "。但把端点值补上，真相立刻不同：

f(-2)=-2,\qquad f(4)=52

比较全部四个数 $2$ 、 $-2$ 、 $-2$ 、 $52$ ，真正的最大值是 $52$ ，出现在端点 $x=4$ 处；最小值是 $-2$ ，在 $x=-2$ 与 $x=1$ 两处同时取到。

端点值永远要算，不要想当然。 尤其当函数在区间上单调时，冠军和末位几乎一定站在两端——这时候漏了端点，等于全盘皆输。

开区间上的最值

区间一开，最值就可能"可望而不可即"。 对于开区间 $(a, b)$ ，闭区间最值定理失效，函数可能既没有最大值、也没有最小值。

比如 $f(x)=x^2$ 在 $(-1, 1)$ 上，最小值是 $0$ （在 $x=0$ 处取到），却没有最大值—— $f(x)$ 可以无限接近 $1$ ，但永远达不到 $1$ 。

无穷区间更要注意。看 $f(x)=x\,e^{-x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上：当 $x\to 0^{+}$ 时 $f(x)\to 0$ ，当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to 0$ 。求导得

f'(x)=e^{-x}(1-x)

令其为零，得唯一驻点 $x=1$ ，且当 $x<1$ 时导数 $>0$ 、当 $x>1$ 时导数 $<0$ ， $x=1$ 是极大值点。于是 $x=1$ 处取到最大值

f(1)=\dfrac{1}{e}

而两端都趋于 $0$ 、却都取不到，所以这个函数有最大值、没有最小值。

处理开区间或无穷区间的最值，靠的就是"极限"这把尺子：先看函数在区间内部的极值，再算两端（或无穷远）的极限趋势，两头一比，就知道最值是否存在、值是多少。经验法则是：内部若只有一个极值点，且两端都低于它，那么这个唯一的极大值就是最大值；若两端都高于它，那个唯一的极小值就是最小值。

含参最值问题

参数一动，极值点就跟着挪，所以必须分类讨论。 高考里这类题很常见，比如：

已知 $f(x)=x^3-3ax$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值为 $4$ ，求 $a$ 的值。

解：求导得

f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)

关键观察：只要 $a>0$ ，驻点 $x=\sqrt{a}$ 处导数由负变正，它是极小值点，绝不可能给出最大值；若 $a\le 0$ ，导数在 $[0, 2]$ 上处处非负，函数单调递增。两种情形下，最大值都只能出现在两个端点 $f(0)$ 与 $f(2)$ 之一。把端点值算出来：

f(0)=0,\qquad f(2)=8-6a

因为 $f(0)=0$ 不等于 $4$ ，要最大值为 $4$ ，只能是

8-6a=4

解得 $a=\dfrac{2}{3}$ 。检验： $a=\dfrac{2}{3}>0$ ，此时驻点 $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\approx 0.82$ 落在 $(0, 2)$ 内，是极小值点，函数先减后增；两端 $f(0)=0$ 、 $f(2)=4$ ，最大值 $4$ 确实在端点 $x=2$ 处取到。又 $f(2)=8-6a$ 随 $a$ 单调，解唯一，故 $a=\dfrac{2}{3}$ 。

含参题的套路就是：先问"极值点在不在区间内"，再看"极值点和端点谁更大"，各种情况各讨论各的，最后统一写出参数的取值。

实际应用：容积最大

应用题到最后，都是把一个实际问题翻译成一个求最值的数学题。 看一个经典模型。

用一张边长为 $18$ 的正方形铁皮，在四角各剪去一个相同的小正方形，再把四边折起来，做成一个无盖的方盒。问剪去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形边长为 $x$ ，则盒底是边长 $18-2x$ 的正方形，盒子高为 $x$ ，容积为

V(x)=(18-2x)^2\,x=4x^3-72x^2+324x

定义域由实际意义决定： $x>0$ 且 $18-2x>0$ ，即

0<x<9

求导：

V'(x)=12x^2-144x+324=12(x^2-12x+27)=12(x-3)(x-9)

令 $V'(x)=0$ ，得 $x=3$ 或 $x=9$ 。其中 $x=9$ 不在定义域 $(0, 9)$ 内，舍去；剩下 $x=3$ 。函数在 $(0, 3)$ 上导数为正、在 $(3, 9)$ 上导数为负，所以 $x=3$ 是极大值点，也是这段区间上的最大值点。

代回求容积：

V(3)=(18-6)^2\times 3=144\times 3=432

所以剪去边长为 $3$ 的小正方形时，盒子容积最大，最大容积为 $432$ 。

为了确认 $x=3$ 确实最优，可以再比两个相邻值： $V(2)=(18-4)^2\times 2=392$ ， $V(4)=(18-8)^2\times 4=400$ ，都小于 $432$ ，与结论一致。

应用题的建模五步

实际问题的难点不在求导，在把文字变成函数。 把上面的做法固定成五步，考场里照着走：

设变量：把待求的量设为 $x$ （比如剪去的边长），并说清它的含义；
列函数：用 $x$ 表示出要求的那个量（容积、面积、成本……），写成函数 $y=f(x)$ ；
求定义域：由实际意义（长度为正、边够长等）确定 $x$ 的取值范围，这一步最容易漏；
求导找极值：对 $f(x)$ 求导，令导数为零找驻点，判断它是极大还是极小；
回答原问题：把取得极值的 $x$ 代回，算出所求量的值，并用一句中国话回答题目问的那件事。

其中第 3 步和第 5 步是学生最容易丢分的地方：忘写定义域，等于漏掉一个隐含的端点条件；算完数不回答原问题，阅卷时会被视作答非所问。

在高中数学体系里的位置

最值问题是导数应用的落脚点。 前面几讲的单调性和极值，最后都是为了这一讲服务——在一个区间上把函数的起伏摸清楚，才能定出它的最高点和最低点。

高考里，求最值通常作为大题的第二问或第三问出现，难度中等偏上；它也常常是更难的"恒成立""不等式证明"问题的地基——那些题的核心，往往就是"先求一个函数的最值，再拿这个最值去比较"。所以这一讲的流程必须写到肌肉记忆：求导、找临界点、算函数值、比大小，一步都不能省，尤其端点值和不可导点。

思考与拓展

求 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ 在 $[0, 4]$ 上的最大值和最小值。
函数 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ 在 $(0, +\infty)$ 上有最大值吗？如果有，是多少？有没有最小值？
已知 $f(x)=ax^3-3x^2+1$ 在 $[-1, 1]$ 上的最大值为 $3$ ，求 $a$ 的值。
你能构造一个在开区间 $(0, 1)$ 上连续、可导，却既没有最大值也没有最小值的函数吗？

高考母题

（2023·北京） 设函数 $f(x)=x-x ^ { 3 } { e } ^ { ax+b }$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$ ．
(1)求 $a,b$ 的值；
(2)设函数 $g(x)=f'(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间；
(3)求 $f(x)$ 的极值点个数．

展开详解

(1) $a=-1,b=1$
(2) $g\left\{ ( { x } \right )$ 的单调递减区间为 $\left ( { 0,3-\sqrt{ 3 } } \right )$ 和 $\left ( { 3+\sqrt{ 3 },+∞ } \right )$ ，单调递增区间为 $\left ( { -∞,0 } \right )$ 和 $\left ( { 3-\sqrt{ 3 },3+\sqrt{ 3 } } \right )$ .
(3)3个【分析】
（1）先对 $f\left ( { x } \right )$ 求导，利用导数的几何意义得到 $f(1)=0$ ， $f'(1)=-1$ ，从而得到关于 $a,b$ 的方程组，解之即可；
（2）由（1）得 $g\left ( { x } \right )$ 的解析式，从而求得 $g'\left ( { x } \right )$ ，利用数轴穿根法求得 $g'\left ( { x } \right ) < 0$ 与 $g'\left ( { x } \right )>0$ 的解，由此求得 $g\left ( { x } \right )$ 的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间 $\left ( { -∞,0 } \right )$ ， $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ ， $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 与 $\left ( { x_{ 2 } ,+∞ } \right )$ 上 $f'\left ( { x } \right )$ 的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 $f\left ( { x } \right )$ 的极值点个数.
（1）因为 $f(x)=x-x ^ { 3 } { e } ^ { ax+b } ,x∈{ R }$ ，所以 $f'\left ( { x } \right )=1-\left ( { 3x ^ { 2 } +ax ^ { 3 } } \right ){ e } ^ { ax+b }$ ，因为 $f\left ( { x } \right )$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$ ，所以 $f(1)=-1+1=0$ ， $f'(1)=-1$ ，则 $\left \{ \right\}$ ，解得 $\left \{ \right.$ ，所以 $a=-1,b=1$ .
（2）由（1）得 $g\left ( { x } \right )=f'\left ( { x } \right )=1-\left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ){ e } ^ { -x+1 } \left ( { x∈{ R } } \right )$ ，则 $g'\left ( { x } \right )=-x\left ( { x ^ { 2 } -6x+6 } \right ){ e } ^ { -x+1 }$ ，令 $x ^ { 2 } -6x+6=0$ ，解得 $x=3±\sqrt{ 3 }$ ，不妨设 $x_{ 1 } =3-\sqrt{ 3 }$ ， $x_{ 2 } =3+\sqrt{ 3 }$ ，则 $0 < x_{ 1 } < x_{ 2 }$ ，易知 ${ e } ^ { -x+1 } >0$ 恒成立，所以令 $g'\left ( { x } \right ) < 0$ ，解得 $0 < x < x_{ 1 }$ 或 $x>x_{ 2 }$ ；令 $g'\left ( { x } \right )>0$ ，解得 $x < 0$ 或 $x_{ 1 } < x < x_{ 2 }$ ；所以 $g\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ ， $\left ( { x_{ 2 } ,+∞ } \right )$ 上单调递减，在 $\left ( { -∞,0 } \right )$ ， $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 上单调递增，即 $g\left ( { x } \right )$ 的单调递减区间为 $\left ( { 0,3-\sqrt{ 3 } } \right )$ 和 $\left ( { 3+\sqrt{ 3 },+∞ } \right )$ ，单调递增区间为 $\left ( { -∞,0 } \right )$ 和 $\left ( { 3-\sqrt{ 3 },3+\sqrt{ 3 } } \right )$ .
（3）由（1）得 $f(x)=x-x ^ { 3 } { e } ^ { -x+1 } \left ( { x∈{ R } } \right )$ ， $f'\left ( { x } \right )=1-\left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ){ e } ^ { -x+1 }$ ，由（2）知 $f'\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ ， $\left ( { x_{ 2 } ,+∞ } \right )$ 上单调递减，在 $\left ( { -∞,0 } \right )$ ， $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 上单调递增，当 $x < 0$ 时， $f'\left ( { -1 } \right )=1-4{ e } ^ { 2 } < 0$ ， $f'\left ( { 0 } \right )=1>0$ ，即 $f'\left ( { -1 } \right )f'\left ( { 0 } \right ) < 0$ 所以 $f'\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,0 } \right )$ 上存在唯一零点，不妨设为 $x_{ 3 }$ ，则 $-1 < x_{ 3 } < 0$ ，此时，当 $x < x_{ 3 }$ 时， $f'\left ( { x } \right ) < 0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递减；当 $x_{ 3 } < x < 0$ 时， $f'\left ( { x } \right )>0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递增；所以 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,0 } \right )$ 上有一个极小值点；当 $x∈\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ 时， $f'\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ 上单调递减，则 $f'\left ( { x_{ 1 } } \right )=f'\left ( { 3-\sqrt{ 3 } } \right ) < f'\left ( { 1 } \right )=1-2 < 0$ ，故 $f'\left ( { 0 } \right )f'\left ( { x_{ 1 } } \right ) < 0$ ，所以 $f'\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ 上存在唯一零点，不妨设为 $x_{ 4 }$ ，则 $0 < x_{ 4 } < x_{ 1 }$ ，此时，当 $0 < x < x_{ 4 }$ 时， $f'\left ( { x } \right )>0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递增；当 $x_{ 4 } < x < x_{ 1 }$ 时， $f'\left ( { x } \right ) < 0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递减；所以 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ 上有一个极大值点；当 $x∈\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 时， $f'\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 上单调递增，则 $f'\left ( { x_{ 2 } } \right )=f'\left ( { 3+\sqrt{ 3 } } \right )>f'\left ( { 3 } \right )=1>0$ ，故 $f'\left ( { x_{ 1 } } \right )f'\left ( { x_{ 2 } } \right ) < 0$ ，所以 $f'\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 上存在唯一零点，不妨设为 $x_{ 5 }$ ，则 $x_{ 1 } < x_{ 5 } < x_{ 2 }$ ，此时，当 $x_{ 1 } < x < x_{ 5 }$ 时， $f'\left ( { x } \right ) < 0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递减；当 $x_{ 5 } < x < x_{ 2 }$ 时， $f'\left ( { x } \right ) < 0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递增；所以 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 上有一个极小值点；当 $x>x_{ 2 } =3+\sqrt{ 3 }>3$ 时， $3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } =x ^ { 2 } \left ( { 3-x } \right ) < 0$ ，所以 $f'\left ( { x } \right )=1-\left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ){ e } ^ { -x+1 } >0$ ，则 $f\left ( { x } \right )$ 单调递增，所以 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { x_{ 2 } ,+∞ } \right )$ 上无极值点；综上： $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,0 } \right )$ 和 $\left ( { x_{ 1 } ,x_{ 2 } } \right )$ 上各有一个极小值点，在 $\left ( { 0,x_{ 1 } } \right )$ 上有一个极大值点，共有 $3$ 个极值点. 【点睛】
关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断 $f'\left ( { x_{ 1 } } \right )$ 与 $f'\left ( { x_{ 2 } } \right )$ 的正负情况，充分利用 $f'\left ( { x } \right )$ 的单调性，寻找特殊点判断即可得解.

一句话总结

闭区间上连续函数的最值，等于把驻点、不可导点与两个端点处的函数值放在一起比大小，取最大的做最大值、最小的做最小值。三类临界点一个都不能漏——端点值永远要算，不可导点永远要看。

— Y. · 2026-10-01

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