第7讲 导数与函数的最值——全局最优的寻找

最值问题的本质

极值关注的是"周围比我都差"，最值关注的是"整体里我最强"。

在闭区间 $[a, b]$ 上，连续函数一定有最大值和最小值（这是闭区间上连续函数的性质——极值定理）。最值可能出现在：

1. 区间内部的极值点
2. 区间的端点

所以求最值的方法就是：把所有候选点的函数值算出来，比较大小。

求最值的标准流程

求函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大值和最小值：

1. 求 $f'(x)$，解 $f'(x) = 0$ 得到所有驻点
2. 筛出在 $(a, b)$ 内的驻点（排除区间外的）
3. 计算 $f(a), f(b)$ 和所有驻点处的函数值
4. 最大的就是最大值，最小的就是最小值

例题

求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 在 $[-2, 4]$ 上的最值。

解：

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$
2. 驻点：$x = -1, x = 3$，都在 $(-2, 4)$ 内
3. 计算：
   • $f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$
   • $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
   • $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
   • $f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$
4. 最大值 $= 10$（在 $x = -1$ 处），最小值 $= -22$（在 $x = 3$ 处）

注意：最大值 $10$ 恰好是极大值，最小值 $-22$ 恰好是极小值。但这不是必然的——有时最值出现在端点。

端点值的陷阱

很多学生会忘记检查端点值。比如上面那个例子，如果只算极值，会得到最大值 10、最小值 -22，答案恰好对。但如果换一个函数，端点值可能更大或更小。

一定要算端点值，不要想当然。

开区间上的最值

对于开区间 $(a, b)$，函数可能没有最大值或最小值。

比如 $f(x) = x^2$ 在 $(-1, 1)$ 上，最小值是 0（在 $x = 0$ 处），但没有最大值——因为 $f(x)$ 可以无限接近 1 但永远达不到 1。

处理开区间上的最值问题，通常需要分析函数的趋势：当 $x$ 趋近边界时，函数值趋向什么？

含参最值问题

高考中常出现含参数的最值问题：

已知 $f(x) = x^3 - 3ax$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值为 4，求 $a$ 的值。

这类题的关键是讨论参数对极值点位置的影响：

• 极值点是否在区间内？
• 极值点和端点值哪个更大？

需要分类讨论，每种情况独立分析。

在高中数学体系里的位置

最值问题是导数应用的终极目标——单调性和极值都是为求最值服务的。

高考中，最值问题通常作为大题的第二问或第三问出现，难度中等偏上。关键是要把流程写完整：求导 → 找驻点 → 筛点 → 算值 → 比较。

思考与拓展

1. 求 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 在 $[0, 4]$ 上的最值。
2. 函数 $f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$ 在 $(0, +\infty)$ 上有最大值吗？如果有，是多少？
3. 已知 $f(x) = ax^3 - 3x^2 + 1$ 在 $[-1, 1]$ 上的最大值为 3，求 $a$ 的值。
4. 你能构造一个在开区间 $(0, 1)$ 上连续、可导，但没有最大值也没有最小值的函数吗？

一句话总结

闭区间上的最值 = 所有极值 + 两个端点值，取最大和最小。端点值永远要算，不要省。