第6讲 导数与函数的极值——局部最优的秘密

什么是极值

极值是**局部**概念——在某一点的附近，函数值比周围都大（极大值）或比周围都小（极小值）。

注意"局部"两个字。山顶是局部最高点，但可能不是整个山脉的最高点。同样，极值点不一定是最大值点。

极值与导数的关系

费马定理

如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

这是极值问题的核心定理——可导函数的极值点一定是导数为零的点。

导数为零 ≠ 极值点

反过来不一定成立：$f'(x_0) = 0$ 不一定是极值点。

经典反例：$f(x) = x^3$，$f'(0) = 0$，但 $x = 0$ 不是极值点——函数在 $x = 0$ 附近仍然是递增的。

这种点叫做驻点（或临界点），它可能是极值点，也可能不是。

判断极值的方法

方法一：第一充分条件（导数变号法）

在 $x_0$ 的左右两侧，观察 $f'(x)$ 的符号变化：

• $f'$ 从正变负 → 极大值
• $f'$ 从负变正 → 极小值
• $f'$ 不变号 → 不是极值点

这是最通用、最可靠的方法。

方法二：第二充分条件（二阶导数法）

如果 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) \neq 0$：

• $f''(x_0) > 0$ → 极小值（曲线向上开口）
• $f''(x_0) < 0$ → 极大值（曲线向下开口）

这个方法更快，但只适用于二阶导数存在且不为零的情况。

方法三：定义法

直接看 $f(x_0)$ 是否是附近所有函数值的最大（或最小）值。

极值点的求解步骤

1. 求导数 $f'(x)$
2. 解方程 $f'(x) = 0$，得到所有驻点
3. 用第一充分条件或第二充分条件判断每个驻点是否为极值点
4. 如果是极值点，计算极值 $f(x_0)$

极值 vs 最值

	极值	最值
性质	局部概念	整体概念
个数	可以有多个	最大值和最小值各至多一个
位置	只能在区间内部	可以在边界或内部
关系	极值不一定是最值	最值一定是极值或端点值

在闭区间 $[a, b]$ 上求最值的方法：

1. 求出所有极值点的函数值
2. 计算端点 $f(a)$ 和 $f(b)$
3. 比较所有这些值，最大的就是最大值，最小的就是最小值

例题

求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的极值。

解：

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$
2. 令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 3$
3. 判断：
   • $x < -1$ 时 $f'(x) > 0$，$-1 < x < 3$ 时 $f'(x) < 0$，$x > 3$ 时 $f'(x) > 0$
   • $x = -1$：$f'$ 从正变负 → 极大值，$f(-1) = 10$
   • $x = 3$：$f'$ 从负变正 → 极小值，$f(3) = -22$

在高中数学体系里的位置

极值是导数应用的核心内容，也是高考必考点。

高考中，极值通常作为大题的第一问或第二问出现，与单调性、最值问题结合考察。熟练掌握极值点的判断方法，是解决后续所有导数问题的基础。

思考与拓展

1. 求函数 $f(x) = x^3 - 12x$ 的极值。
2. 证明：$f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处导数为零但不是极值点。
3. 函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处有极值吗？它可导吗？这说明了什么？
4. 你能举出一个在闭区间上连续、可导，但没有极大值也没有极小值的函数吗？

一句话总结

极值点就是"山峰"和"山谷"——导数为零是必要条件，导数变号是充分条件。记住了这个区别，极值问题就解决了大半。