导数与函数的极值——局部最优的秘密

f′ 变号处取极值：左正右负为极大，左负右正为极小

什么是极值

极值说的是"附近范围内最高的点或最低的点"，一旦离开这个附近，它可能一点都不高。

先看一个画面。你站在一座山上，脚下的地方比左右两边都高，那它就是一个"极大值点"；如果站在一个坑底，比左右两边都低，那就是"极小值点"。可这座山未必是整条山脉里最高的——旁边那座山峰也许更高。所以极值的第一个关键词是"局部"：只在某一点的附近比大小，不跟整个定义域比。

课本上的说法更精确：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近有定义，如果存在一个包含 $x_0$ 的开区间 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$，使得对这个区间里除 $x_0$ 外的所有 $x$，都有 $f(x) < f(x_0)$，就称 $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个极大值，$x_0$ 是极大值点。把不等号反过来写成 $f(x) > f(x_0)$，得到的就是极小值与极小值点。极大值与极小值统称极值。

这个"存在一个开区间"的写法，就是"局部"两个字的数学翻译，读作"存在某个邻域"。定义只要求在这个邻域内成立；出了这个邻域，函数是涨是跌，定义一概不管。

抓住两个要害

• 极值是一个函数值（一个数），极值点是一个自变量（一个横坐标）。说"极值是 $10$"和"极值点是 $-1$"是完全不同的两件事，考试里混用会直接扣分。
• 极大值不一定是所有函数值里最大的。只要某个点比身边一小圈里的点都高，它就是极大值点，哪怕山外有山。

极值与最值的区别

极值管"附近"，最值管"全局"，这是两者最根本的分界线。

	极值	最值
性质	局部概念，只看一点附近	整体概念，看整个定义域或整个区间
个数	可以有多个极大值和多个极小值	最大值和最小值各自至多一个
位置	只能在区间内部，端点谈不上"附近"	可以在内部，也可以在端点
关系	极值不一定是最值	最值一定在极值点或区间端点处取到

举一个对照的例子。函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 在闭区间 $[-2, 3]$ 上，$x = -1$ 处有极大值 $f(-1) = 2$，$x = 1$ 处有极小值 $f(1) = -2$。但整个区间的最大值其实是右端点的 $f(3) = 18$，最小值是 $-2$，在左端点 $x = -2$ 和极小值点 $x = 1$ 处同时取到。你看，极大值 $2$ 根本不是最大值，极值只是"区间内部的局部冠军"。

在闭区间 $[a, b]$ 上求最值，正是利用了这条关系：

1. 求出区间内所有极值点的函数值；
2. 算出两个端点处的函数值 $f(a)$ 与 $f(b)$；
3. 把这些数放在一起比大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

极值与导数的关系

费马定理：可导的极值点，导数必然为零

站在山顶或谷底，曲线是"平的"，切线水平，导数就是 $0$——但这是必要条件，不是充分条件。

想象走到极值点附近：从左边靠过来，函数值在升（或降）；过了这一点往右走，函数值开始降（或升）。也就是说在极值点处函数"既不升也不降"，瞬时变化率为零。写成定理，就是费马定理：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则

$$f'(x_0) = 0$$

这是极值问题的核心定理。它给出一条关键的搜索线索：可导函数的极值点，一定藏身于导数为零的点之中。 于是求极值的第一步永远是解方程 $f'(x) = 0$，先把候选点全部找出来。

导数为零，却不一定有极值

$f'(x_0) = 0$ 只是给了你一份"候选人名单"，它筛掉了没资格的人，但名单里的人未必都能当选。

经典反例：$f(x) = x^3$。求导得

$$f'(x) = 3x^2$$

令它为零，只有 $x = 0$ 一个解，所以 $x = 0$ 是候选点。可是 $3x^2$ 在 $x = 0$ 的两侧都大于零（只有 $0$ 点本身等于零），这说明函数在 $x = 0$ 附近始终在递增：$x < 0$ 时 $f(x) < 0$，$x > 0$ 时 $f(x) > 0$。左边比 $f(0) = 0$ 小，右边比 $0$ 大，所以 $x = 0$ 既不是极大值点也不是极小值点——它只是曲线"临时停下来喘口气"的一个平台点。

这样的点叫做驻点，也叫临界点。所以准确的逻辑链是：

• 可导的极值点，一定是驻点；
• 但驻点，未必是极值点。

不可导点，也可能是极值点

费马定理的前提是"可导"，一旦函数在这点不可导，结论就连起跑线都站不住。

看 $f(x) = |x|$，也就是 $x \ge 0$ 时 $f(x) = x$，$x < 0$ 时 $f(x) = -x$。在 $x = 0$ 处，左导数等于 $-1$、右导数等于 $1$，两者不等，所以 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。但 $x = 0$ 显然是极小值点，因为对任何 $x \neq 0$，都有 $|x| > 0 = f(0)$。

这提醒我们：寻找极值点时，除了解方程 $f'(x) = 0$，还要留意那些函数有定义但导数不存在的点，比如尖点、折点。这两类点合起来，才是极值点的完整候选名单。

判断极值的方法

第一充分条件（导数变号法）

极值的本质是"单调性发生了反转"，所以只要盯住导数在候选点两侧有没有变号。

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内可导，且 $f'(x_0) = 0$：

• 如果 $x < x_0$ 时 $f'(x) > 0$，而 $x > x_0$ 时 $f'(x) < 0$，即导数由正变负，函数先增后减，则 $x_0$ 是极大值点；
• 如果 $x < x_0$ 时 $f'(x) < 0$，而 $x > x_0$ 时 $f'(x) > 0$，即导数由负变正，函数先减后增，则 $x_0$ 是极小值点；
• 如果 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧符号不变，则 $x_0$ 不是极值点。

口诀是"左正右负取极大，左负右正取极小，符号不变就作废"。这个方法最通用，因为它不要求二阶导数存在，对不可导的候选点同样能用；代价是每次都得老老实实列表判断符号，稍显繁琐。

第二充分条件（二阶导数法）

只要二阶导数存在且不为零，那么它的正负号一句话就能定案。

设 $f'(x_0) = 0$，且 $f''(x_0) \neq 0$：

• 若 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是极小值点；
• 若 $f''(x_0) < 0$，则 $x_0$ 是极大值点。

道理很直观：$f''(x_0) > 0$ 说明曲线在这一点附近向上开口，像一个碗底，导数在这里由负变正，自然对应极小值；$f''(x_0) < 0$ 说明曲线向下开口，像一座山包，对应极大值。

但必须记住它的失效场合：当 $f''(x_0) = 0$ 时，这个方法给不出任何结论，只能退回第一充分条件。比如 $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处，$f'(0) = 0$ 且 $f''(0) = 0$，二阶导数法当场哑火，只有用导数变号法才能看出它不是极值点。所以方法二快捷，却不能包打天下。

方法三：定义法

实在没有别的办法时，回到定义，直接比较邻域内函数值的大小。

判断 $f(x_0)$ 是不是比周围都大（或都小），就是老老实实验证邻域不等式成立不成立。这个方法看着笨，但在处理含参数的抽象问题或者写证明题时，往往是最稳妥、最标准的写法。

极值点的求解步骤

把上面的内容串起来，就是一套固定流程：

1. 先确定函数的定义域——这一步最容易忽略，也最容易出错；
2. 求导数 $f'(x)$，找出所有满足 $f'(x) = 0$ 的点和 $f'(x)$ 不存在的点；
3. 用第一充分条件或第二充分条件，逐一判断这些候选点是不是极值点；
4. 对确定为极值点的点，算出对应的极值 $f(x_0)$，并写清是极大值还是极小值。

三个算例

例一：用第一充分条件（导数变号法）

求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的极值。

第一步，求导并因式分解：

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$$

第二步，令 $f'(x) = 0$，解得驻点 $x = -1$ 与 $x = 3$。

第三步，列表观察导数符号。两个驻点把数轴分成三段：

区间	$(-\infty, -1)$	$x = -1$	$(-1, 3)$	$x = 3$	$(3, +\infty)$
$f'(x)$	正	$0$	负	$0$	正
$f(x)$	递增	极大值	递减	极小值	递增

$x = -1$ 处导数由正变负，是极大值点：

$$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$$

$x = 3$ 处导数由负变正，是极小值点：

$$f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$

结论：$x = -1$ 处取得极大值 $10$，$x = 3$ 处取得极小值 $-22$。

例二：用第二充分条件（二阶导数法）

求 $f(x) = x^3 - 3x$ 的极值。

第一步，求一阶导数：

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 与 $x = 1$。

第二步，求二阶导数，再把驻点代进去：

$$f''(x) = 6x$$

在 $x = -1$ 处，$f''(-1) = -6 < 0$，所以 $x = -1$ 是极大值点，极大值为

$$f(-1) = -1 + 3 = 2$$

在 $x = 1$ 处，$f''(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是极小值点，极小值为

$$f(1) = 1 - 3 = -2$$

两个驻点的二阶导数都不为零，方法二全程有效，比列表省事得多。这也说明：当二阶导数好算且不为零时，应该优先用它。

例三：导数为零，却不是极值

判断 $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处是不是极值点。

求导得 $f'(x) = 3x^2$，于是 $f'(0) = 0$，$x = 0$ 是驻点，符合费马定理给出的"必要条件"，进入候选名单。

先试第二充分条件：$f''(x) = 6x$，$f''(0) = 0$，方法失效，不能直接下结论。

改用第一充分条件：当 $x \neq 0$ 时，$3x^2 > 0$ 恒成立，也就是 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 两侧都是正的，符号没有改变。这说明函数在 $x = 0$ 两侧都在递增，所以 $x = 0$ 不是极值点。

最后回到定义验证一遍：取 $x = -1$ 得 $f(-1) = -1 < 0$，取 $x = 1$ 得 $f(1) = 1 > 0$。左边比 $f(0) = 0$ 小，右边比 $0$ 大，$f(0)$ 既不是邻域内的最大值也不是最小值，确实不是极值点。

这个例子是考试最爱设的陷阱：看到 $f'(x_0) = 0$ 就写"所以有极值"，是最典型的错误。

极值点、驻点、拐点，三个词别搞混

它们说的是三件不同的事，位置可能重合，含义绝不相等。

• 驻点：导数等于零的点，即 $f'(x_0) = 0$。它只用了"导数为零"这一个条件，跟函数有没有极值毫无关系。
• 极值点：函数在这一点附近取到局部最大或最小的点。它可能落在驻点上，也可能是导数不存在的点。
• 拐点：曲线凹凸性发生改变的点。这里要看的是二阶导数，$f''(x)$ 在拐点两侧符号相反。拐点关心的是"弯曲的方向变了"，和函数值的局部最大最小完全是两码事。

用一个函数把它们一次看全：$f(x) = x^3$。

• $x = 0$ 是驻点，因为 $f'(0) = 0$；
• $x = 0$ 是拐点，因为 $f''(x) = 6x$ 在 $0$ 的两侧由负变正，曲线从凹向下翻转为凹向上；
• 但 $x = 0$ 不是极值点。

同一点可以既是驻点又是拐点，却偏偏不是极值点——这正是 $f(x) = x^3$ 让人记住它的原因。

在高中数学体系里的位置

极值是导数应用的核心内容，也是高考必考点。

从知识链条看，它紧扣上一讲的单调性：极值点就是单调性"由增转减"或"由减转增"的分界点，判断极值不过是把单调性分析往细里推进了一步。往后再学最值、不等式恒成立、方程根的个数，都要先找到极值点这块地基。所以这一讲若理解不透，后面的大题会步步吃力。

从考法看，极值通常作为导数大题的第一问或第二问出现，常与单调性、含参数讨论结合考察。常见的考查角度有：求已知函数的极值、由极值点反求参数、讨论含参函数极值点的个数、利用极值证明不等式。熟练掌握两种充分条件，并牢牢记住"导数为零推不出极值"，是解决所有后续导数问题的基础。

思考与拓展

1. 求函数 $f(x) = x^3 - 12x$ 的极值，并用第二充分条件核对你用第一充分条件得到的结果。
2. 已知函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x$ 有极值，求实数 $a$ 的取值范围。（提示：先看 $f'(x) = 0$ 在什么条件下有两个不等的实根。）
3. 函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处有极值吗？它可导吗？这说明了费马定理里哪一个前提不能省？
4. 举一个例子：函数在闭区间上连续、可导，但在区间内部没有极值点，它的最值在哪里取到？

高考母题

（2026·北京） 设函数 $f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +mx-4e ^ { nx-1 } \left ( { n∈Z } \right )$ ，曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { -1,f\left ( { -1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程为 $4x+{ e } ^ { 2 } y+{ e } ^ { 2 } +8=0$ ．
(1)求 $m$ ， $n$ 的值；
(2)求 $f\left ( { x } \right )$ 的极值点个数；
(3)求 $y=kx-1\left ( { k>0 } \right )$ 与 $f\left ( { x } \right )$ 交点个数．

展开详解

(1) $m=2$ 、 $n=1$
(2) $f\left\{ ( { x } \right )$ 有两个极值点
(3)交点个数为 $1$ 【分析】
（1）借助导数的几何意义可得 $f'\left ( { -1 } \right )=-4e ^ { -2 }$ 、 $f\left ( { -1 } \right )=-1-4e ^ { -2 }$ ，计算即可得解；
（2）求导得到 $f'\left ( { x } \right )$ 后，再利用导数研究函数 $f'\left ( { x } \right )$ 单调性，即可得 $f'\left ( { x } \right )$ 变号零点个数，即可得 $f\left ( { x } \right )$ 极值点个数；
（3）构造函数 $h\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +2x-4e ^ { x-1 } -kx+1$ ，利用导数计算可得 $h'\left ( { x } \right )=2g\left ( { x } \right )-k$ ，再分 $k>2-2ln2$ 及 $0 < k≤2-2ln2$ 进行讨论，当 $k>2-2ln2$ ，结合（2）中所得可得 $h\left ( { x } \right )$ 在 $R$ 上单调递减，结合零点存在性定理即可得 $h\left ( { x } \right )$ 在 $R$ 上零点个数，即可得 $y=kx-1\left ( { k>0 } \right )$ 与 $f\left ( { x } \right )$ 交点个数；当 $0 < k≤2-2ln2$ 时，可得 $h'\left ( { x } \right )=0$ 有两个实根，分别设为 $x_{ 3 }$ 、 $x_{ 4 }$ ，且 $x_{ 3 } < x_{ 4 }$ ，则得 $h\left ( { x } \right )$ 单调性，计算可得 $h\left ( { x_{ 3 } } \right ) < 0$ 、 $h\left ( { x_{ 4 } } \right ) < 0$ ，再利用零点存在性定理即可得 $h\left ( { x } \right )$ 在 $R$ 上零点个数，即可得 $y=kx-1\left ( { k>0 } \right )$ 与 $f\left ( { x } \right )$ 交点个数.
（1） $f'\left ( { x } \right )=2x+m-4ne ^ { nx-1 }$ ，则 $f'\left ( { -1 } \right )=-2+m-4ne ^ { -n-1 } =-4e ^ { -2 }$ ， $f\left ( { -1 } \right )=1-m-4e ^ { -n-1 } =\frac { -e ^ { 2 } -8+4 } { e ^ { 2 } }=-1-4e ^ { -2 }$ ，又 $n∈Z$ ，解得 $\left \{ \right\}$ ；
（2）由（1）得 $f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +2x-4e ^ { x-1 }$ ，则 $f'\left ( { x } \right )=2x+2-4e ^ { x-1 } =2\left ( { x+1-2e ^ { x-1 } } \right )$ ， 令 $g\left ( { x } \right )=x+1-2e ^ { x-1 }$ ，则 $g'\left ( { x } \right )=1-2e ^ { x-1 }$ ， 令 $g'\left ( { x } \right )=1-2e ^ { x-1 } =0$ ，解得 $x=1-ln2$ ， 则当 $x∈\left ( { -∞,1-ln2 } \right )$ 时， $g'\left ( { x } \right )>0$ ，当 $x∈\left ( { 1-ln2,+∞ } \right )$ 时， $g'\left ( { x } \right ) < 0$ ， 故 $g\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,1-ln2 } \right )$ 上单调递增，在 $\left ( { 1-ln2,+∞ } \right )$ 上单调递减， 又 $g\left ( { 1-ln2 } \right )=1-ln2+1-2e ^ { -ln2 } =1-ln2>0$ ， $g\left ( { -1 } \right )=-1+1-2e ^ { -2 } =-2e ^ { -2 } < 0$ ， $g\left ( { 1 } \right )=1+1-2e ^ { 0 } =0$ ， 故存在 $x_{ 1 } ∈\left ( { -1,1-ln2 } \right )$ ，使得 $f'\left ( { x_{ 1 } } \right )=0$ ，且有 $f'\left ( { 1 } \right )=0$ ， 则当 $x∈\left ( { -∞,x_{ 1 } } \right )∪\left ( { 1,+∞ } \right )$ 时， $f'\left ( { x } \right ) < 0$ ，当 $x∈\left ( { x_{ 1 } ,1 } \right )$ 时， $f'\left ( { x } \right )>0$ ， 故 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,x_{ 1 } } \right )$ 、 $\left ( { 1,+∞ } \right )$ 上单调递减，在 $\left ( { x_{ 1 } ,1 } \right )$ 上单调递增， 故 $f\left ( { x } \right )$ 有两个极值点；
（3）令 $x ^ { 2 } +2x-4{ e } ^ { x-1 } =kx-1$ ，则 $x ^ { 2 } +2x-4{ e } ^ { x-1 } -kx+1=0$ ， 令 $h\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +2x-4e ^ { x-1 } -kx+1$ ，则 $h'\left ( { x } \right )=2x+2-4e ^ { x-1 } -k=2g\left ( { x } \right )-k$ ； 若 $k≥2g\left ( { 1-ln2 } \right )=2-2ln2$ ，则 $h'\left ( { x } \right )≤0$ 恒成立（不恒为零）， 故 $h\left ( { x } \right )$ 在 $R$ 上单调递减，又 $h\left ( { 0 } \right )=-4e ^ { -1 } +1=1-\frac { 4 } { e } < 0$ ， 当 $x→-∞$ 时， $h\left ( { x } \right )→+∞$ ，故 $h\left ( { x } \right )$ 在 $R$ 上有唯一零点， 即 $y=kx-1\left ( { k>0 } \right )$ 与 $f\left ( { x } \right )$ 有唯一交点； 若 $0 < k < 2-2ln2$ 时， $2g\left ( { x } \right )-k=0$ 有两个实根， 设这两个实根分别为 $x_{ 3 }$ 、 $x_{ 4 }$ ，且 $x_{ 3 } < x_{ 4 }$ ，则 $x_{ 3 } ∈\left ( { x_{ 1 } ,1-ln2 } \right )$ 、 $x_{ 4 } ∈\left ( { 1-ln2,1 } \right )$ ， 则当 $x∈\left ( { -∞,x_{ 3 } } \right )∪\left ( { x_{ 4 } ,+∞ } \right )$ 时， $h'\left ( { x } \right ) < 0$ ，当 $x∈\left ( { x_{ 3 } ,x_{ 4 } } \right )$ 时， $h'\left ( { x } \right )>0$ ， 故 $h\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,x_{ 3 } } \right )$ 、 $\left ( { x_{ 4 } ,+∞ } \right )$ 上单调递减，在 $\left ( { x_{ 3 } ,x_{ 4 } } \right )$ 上单调递增， 故 $h\left ( { x_{ 3 } } \right )$ 为 $h\left ( { x } \right )$ 的极小值， $h\left ( { x_{ 4 } } \right )$ 为 $h\left ( { x } \right )$ 的极大值，且 $h\left ( { x_{ 3 } } \right ) < h\left ( { x_{ 4 } } \right )$ ， 由 $h'\left ( { x_{ 4 } } \right )=2x_{ 4 } +2-4e ^ { x_{ 4 } -1 } -k=0$ ，则 $4{ e } ^ { x_{ 4 } -1 } =2x_{ 4 } +2-k$ ， 则 $h\left ( { x_{ 4 } } \right )=x_{ 4 } ^{ 2 }+2x_{ 4 } -4e ^ { x_{ 4 } -1 } -kx_{ 4 } +1=x_{ 4 } ^{ 2 }+2x_{ 4 } -\left ( { 2x_{ 4 } +2-k } \right )-kx_{ 4 } +1$ $=x_{ 4 } ^{ 2 }-kx_{ 4 } +k-1=\left ( { x_{ 4 } -1 } \right )\left[ x_{ 4 } -\left ( { k-1 } \right ) \right]$ ， 由 $0 < k≤2-2ln2$ ，则 $k-1≤1-2ln2 < x_{ 4 }$ ， 则有 $x_{ 4 } -1 < 0$ 、 $x_{ 4 } -\left ( { k-1 } \right )>0$ ， 故 $h\left ( { x_{ 4 } } \right ) < 0$ ，则 $h\left ( { x_{ 3 } } \right ) < h\left ( { x_{ 4 } } \right ) < 0$ ， 又 $x→-∞$ 时， $h\left ( { x } \right )→+∞$ ，故 $h\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { -∞,x_{ 3 } } \right )$ 上存在唯一零点， 即 $y=kx-1\left ( { k>0 } \right )$ 与 $f\left ( { x } \right )$ 有唯一交点； 综上所述： $y=kx-1\left ( { k>0 } \right )$ 与 $f\left ( { x } \right )$ 交点个数为 $1$ .

一句话总结

极值点就是函数的"山峰"和"山谷"——导数为零是必要条件，导数变号才是充分条件。盯住导数在候选点两侧的符号有没有反转，极值问题就解决了大半。