第5讲 导数与函数的单调性——导数最核心的应用

核心定理

> **设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：** > - 如果在 $I$ 上 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上**单调递增** > - 如果在 $I$ 上 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上**单调递减** > - 如果在 $I$ 上 $f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上**为常数**

直观理解

导数 $f'(x_0)$ 表示函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率。

• 如果 $f'(x_0) > 0$，说明函数在 $x_0$ 处"正在上升"——往右走，函数值在变大。
• 如果 $f'(x_0) < 0$，说明函数在 $x_0$ 处"正在下降"——往右走，函数值在变小。

在整个区间上导数的符号不变，函数就始终上升或始终下降——这就是单调性的本质。

几何意义

$f'(x) > 0$ 意味着切线斜率为正，切线向右上方倾斜，函数递增。

$f'(x) < 0$ 意味着切线斜率为负，切线向右下方倾斜，函数递减。

求单调区间的标准步骤

1. 求导数 $f'(x)$
2. 解不等式 $f'(x) > 0$ 和 $f'(x) < 0$
3. 确定单调区间：$f'(x) > 0$ 的解集是递增区间，$f'(x) < 0$ 的解集是递减区间

例子：求 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调区间

1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$
2. 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$
3. 列表分析：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大	↘	极小	↗

所以：

• 递增区间：$(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$
• 递减区间：$(-1, 1)$

含参函数的单调性讨论

高考中常出现含参数的函数，需要根据参数的取值讨论单调性。

关键步骤：

1. 求导，得到含参数的表达式
2. 找到导数为 0 的点（可能存在也可能不存在）
3. 根据参数的取值，分析导数的符号变化

经典例题

已知 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$，讨论 $f(x)$ 的单调性。

解：$f'(x) = 2x - 2a = 2(x - a)$。

• 当 $x > a$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 递增
• 当 $x < a$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 递减

单调递减区间：$(-\infty, a)$，单调递增区间：$(a, +\infty)$。

这个例子很简单，但含参讨论的思想和这个方法完全一样——参数只影响分界点的位置，不影响分析方法。

一个常见误区

导数大于 0 是函数递增的充分条件，但不是必要条件。

比如 $f(x) = x^3$，$f'(0) = 0$，但 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上仍然是递增的。

准确的说法是：

• $f'(x) \ge 0$ 且 $f'(x) = 0$ 只在孤立点成立 → 函数递增
• $f'(x) > 0$ → 函数严格递增

高考中一般不需要区分这么细，知道"导数正函数增，导数负函数减"就够了。

在高中数学体系里的位置

导数与单调性是导数应用的第一个也是最核心的应用。后续所有的内容（极值、最值、不等式证明）都建立在单调性的基础上。

高考中，单调性是必考点，通常作为大题的第一问出现。虽然难度不高，但必须保证做对——第一问错了，后面的解题思路可能就全偏了。

思考与拓展

1. 求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 的单调区间。
2. 已知 $f(x) = e^x - ax$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。
3. 你能证明：如果 $f'(x) > 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，那么 $f(x)$ 在 $I$ 上严格递增吗？（提示：用拉格朗日中值定理）
4. 函数 $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 的单调性如何？（提示：注意定义域，$x \neq 0$）

一句话总结

导数定单调：导数为正函数增，导数为负函数减。求单调区间就是解导数的不等式。