导数与函数的单调性——导数最核心的应用

f′ 的符号决定增与减

核心定理

导数的正负，决定函数的升降。 这是导数最深、也最有用的一条结论，后面的极值、最值、不等式证明，全都从它长出来。

先把定理完整写一遍：

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：

• 如果在 $I$ 上 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增
• 如果在 $I$ 上 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减
• 如果在 $I$ 上 $f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上为常数

请注意"在区间 $I$ 上"这几个字，不是"在某一点"。 一个点的导数只管住那一点附近的一小段，管不了整条曲线；只有符号在整个区间上保持一致，单调性才能铺满整个区间。

定理反过来也基本成立： 若 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增且可导，则 $f'(x) \ge 0$；单调递减则 $f'(x) \le 0$。为什么不写成严格的 $> 0$？因为 $f(x) = x^3$ 一直递增，可 $f'(0) = 0$。这个例外后面会专门讲。

为什么这个定理成立：拉格朗日中值定理

证明的钥匙是拉格朗日中值定理。 在区间上取两点 $x_1 < x_2$，它断言两点之间必有某个 $\xi$，使函数值之差能用那一点的导数表示：

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)\,(x_2 - x_1), \qquad x_1 < \xi < x_2$$

把 $f'(x) > 0$ 代进去，右边两个因子都为正（$x_2 - x_1 > 0$ 是我们取的，$f'(\xi) > 0$ 是前提），于是 $f(x_2) - f(x_1) > 0$，即 $f(x_2) > f(x_1)$。

因为 $x_1, x_2$ 是区间里任取的两点，这就等于说：右边的点永远比左边的点高。 函数在整段区间上递增。$f'(x) < 0$ 的情形照抄一遍，只把符号翻个个儿；$f'(x) = 0$ 时对任意两点都有 $f(x_2) = f(x_1)$，函数值处处相等，函数是常数。

这个证明的精髓在"任取两点"四个字上。 它把每一点处的局部斜率与整段函数的整体升降接了起来，正是微分学的核心思想：局部信息累加成整体结论。第 2 讲讲导数定义时说的"以直代曲"，到这里才真正兑现。

直观理解

导数 $f'(x_0)$ 就是函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率，说白了是那一刻的"上升速度"。

• 如果 $f'(x_0) > 0$，说明函数在 $x_0$ 处"正在上升"——往右走，函数值在变大。
• 如果 $f'(x_0) < 0$，说明函数在 $x_0$ 处"正在下降"——往右走，函数值在变小。

导数的符号在整段区间上不变，函数就始终上升或始终下降——这就是单调性的本质。

几何意义

$f'(x) > 0$ 意味着切线斜率为正，切线向右上方倾斜，函数递增。 把区间上每一点的切线画出来，它们一片"往右上翘"。

$f'(x) < 0$ 意味着切线斜率为负，切线向右下方倾斜，函数递减。 这些切线则一片"往右下压"。

切线斜率的正负，就是函数升降的晴雨表。

求单调区间的标准步骤

求单调区间，说到底就是解一个不等式。 但顺序不能乱，定义域要放在第一步，否则算出来的区间可能根本不在定义范围内。

1. 先写定义域：单调区间只能是定义域的子集
2. 求导数 $f'(x)$，能因式分解就尽量分解，方便判号
3. 解不等式 $f'(x) > 0$ 和 $f'(x) < 0$，只在定义域内求解
4. 确定单调区间：$f'(x) > 0$ 的解集是递增区间，$f'(x) < 0$ 的解集是递减区间
5. 多个区间分开写，不要硬并成一个

第 5 步容易被忽视，但高考会扣分。 比如函数在 $(-\infty,1)$ 上递增、在 $(1,3)$ 上递减，就只能写"递增区间是 $(-\infty,1)$，递减区间是 $(1,3)$"，绝不能跳过中间的递减段，让它看起来在 $(-\infty,3)$ 上一直递增。

例子：求 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调区间

标准流程的示范，一步一步来。

1. 定义域：$\mathbb{R}$，没有限制
2. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$
3. 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$
4. 列表分析：

x	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,1)$	$1$	$(1,+\infty)$
$f'(x)$	+	0	-	0	+
$f(x)$	↗	极大	↘	极小	↗

所以：

• 递增区间：$(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$
• 递减区间：$(-1, 1)$

顺手把两个转折点的函数值算出来对照： $f(-1) = 2$，$f(1) = -2$。函数先升到 $2$，再降到 $-2$，最后又升上去——三次曲线典型的三段"上—下—上"，与导数符号的"正—负—正"完全对应。

再看一个：$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

换个函数，流程一模一样。

1. 定义域：$\mathbb{R}$
2. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
3. 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = 3$
4. 列表：

x	$(-\infty,1)$	$1$	$(1,3)$	$3$	$(3,+\infty)$
$f'(x)$	+	0	-	0	+
$f(x)$	↗	极大	↘	极小	↗

结论：递增区间是 $(-\infty,1)$ 和 $(3,+\infty)$，递减区间是 $(1,3)$。

验算一遍。 依次代值：$f(0)=1$，$f(1)=5$，$f(2)=3$，$f(3)=1$，$f(4)=5$。函数值 $1\to5\to3\to1\to5$，正好是"上—下—上"，与导数符号对得上。

含参函数的单调性讨论

含参的题之所以要分类，是因为参数能改变导函数零点的位置、个数，甚至让零点根本不存在。 上面两题里 $f'(x)$ 的零点就是具体的数；一旦函数带着参数 $a$，零点就成了一句关于 $a$ 的话，$a$ 不同，意思就不同。

关键步骤：

1. 求导，得到含参数的表达式
2. 把导函数整理成"因式的乘积"或"分式"，方便判号
3. 找到导数为 $0$ 的点（可能有，也可能没有）
4. 根据参数的取值分析导数的符号变化

分类的标准不是参数本身，而是参数的取值怎么影响零点。 常见的分界点是：判别式等于零时的参数值、根恰好落到定义域边界上的参数值、两个根相等时的参数值。抓住这几个"临界值"，分类就齐了。

经典例题

已知 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$，讨论 $f(x)$ 的单调性。

解：$f'(x) = 2x - 2a = 2(x - a)$。

• 当 $x > a$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 递增
• 当 $x < a$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 递减

单调递减区间：$(-\infty, a)$，单调递增区间：$(a, +\infty)$。

这个例子的骨架就是含参讨论的全部：参数只决定分界点的位置，不改变分析方法。 无论 $a$ 取什么值，$f'(x)$ 都是斜率向上的直线，"左负右正"，函数永远先减后增，只是转折点跟着 $a$ 跑。真正麻烦的是下面这种参数和定义域纠缠在一起的情形。

含参重头戏：$f(x) = \ln x - ax$

换个数据与参数纠缠的函数，这时分类才真正必要。

讨论 $f(x) = \ln x - ax$ 的单调性。

第一步，写定义域。 对数要求真数为正，定义域是 $(0, +\infty)$，单调区间只能在这段正半轴上找。

第二步，求导。

$$f'(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1 - ax}{x}$$

第三步，判号。 定义域上 $x > 0$ 恒成立，分母永远为正，符号完全由分子 $1 - ax$ 决定。到这里参数 $a$ 的作用就显出来了：它决定 $1 - ax$ 在 $(0, +\infty)$ 上会不会变号。

• 当 $a \le 0$ 时：对一切 $x > 0$ 有 $ax \le 0$，于是 $1 - ax \ge 1 > 0$，$f'(x) > 0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，全程没有转折。

• 当 $a > 0$ 时：令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \dfrac{1}{a}$，落在定义域内。$0 < x < \dfrac{1}{a}$ 时 $ax < 1$，分子为正，$f'(x) > 0$；$x > \dfrac{1}{a}$ 时 $ax > 1$，分子为负，$f'(x) < 0$。所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \dfrac{1}{a}\right)$ 上递增，在 $\left(\dfrac{1}{a}, +\infty\right)$ 上递减。

合起来写：当 $a \le 0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a > 0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,\frac{1}{a})$ 上递增、在 $(\frac{1}{a},+\infty)$ 上递减。

用 $a = 1$ 代进去验证。 此时 $f(x) = \ln x - x$，$f'(x) = \frac{1}{x} - 1$。取 $x = 0.5$ 得 $f'(0.5) = 1 > 0$；取 $x = 2$ 得 $f'(2) = -0.5 < 0$。符号在 $x = 1 = \frac{1}{a}$ 处由正转负，与结论一致。

为什么非分类不可？ $a \le 0$ 时零点 $x = \frac{1}{a}$ 落在负半轴、不在定义域里，函数压根没有转折点；$a > 0$ 时这个零点跑到正半轴上，函数就多了"先增后减"一段。同一个式子，零点在不在定义域内，对应两张完全不同的图像。 分类讨论不是出题人故意为难，是数学本身在这里真的分岔了。

需要借助二阶导数的时候

有些题里 $f'(x)$ 的符号一眼看不出来，那就转而研究 $f'(x)$ 自己的单调性。 办法是把 $f'(x)$ 当成新函数再求一次导，得到二阶导数 $f''(x)$；用二阶导数定出一阶导数的最小值，再由最小值定出它的符号。

算例：$f(x) = e^x - \dfrac{1}{2}x^2 - x$

判断 $f(x) = e^x - \dfrac{1}{2}x^2 - x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性。

先求一阶导数，看卡在哪里。

$$f'(x) = e^x - x - 1$$

指数减一次式，正负看不出来，就转去研究它本身。 记 $g(x) = f'(x) = e^x - x - 1$，再求一次导：

$$g'(x) = e^x - 1$$

$g'(x)$ 的符号很好判断： $x < 0$ 时为负，$x > 0$ 时为正。于是 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减、在 $(0, +\infty)$ 上递增，在 $x = 0$ 处取最小值：

$$g(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$$

最小值既然是 $0$，$g(x)$ 就永远不小于 $0$，也就是 $f'(x) \ge 0$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上成立，等号只在 $x = 0$ 这一个孤立点取得。根据前面的定理，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。（验一下：$f'(-2) \approx 1.135 > 0$，$f'(1) \approx 0.718 > 0$，两侧都为正，中间只在 $x = 0$ 处触零。）

这个套路要记住：一阶导数看不出符号，就求二阶导数去找一阶导数的最小值。 只要最小值不小于零，一阶导数就非负。它和"先求极值、再定符号"是同一件事，只是研究对象从 $f$ 换成了 $f'$。

一个常见误区

把"某点导数为零"直接当成"该点是极值点"，是这一章最容易掉进去的坑。 两者之间隔着一个关键条件：导数必须在该点两侧变号。

导数大于 $0$ 是函数递增的充分条件，但不是必要条件。 最典型的例子是 $f(x) = x^3$：$f'(x) = 3x^2$，$f'(0) = 0$，可 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一直递增，$x = 0$ 两侧导数都为正、没有变号，所以 $x = 0$ 根本不是极值点。

反过来的例子也存在。 $f(x) = x^4$ 的 $f'(x) = 4x^3$，同样有 $f'(0) = 0$；但 $x < 0$ 时导数为负、$x > 0$ 时导数为正，两侧变号了，$x = 0$ 确实是最小值点。同样是"导数为零"的点，一个是极值点、一个不是，区别全在两侧符号变没变。

所以求单调区间时别只盯着 $f'(x) = 0$ 的点。 正解是直接解不等式 $f'(x) > 0$ 和 $f'(x) < 0$；导数为零的点只是区间的分界候选，必须检验它左右两侧的符号才能下结论。

回到定理本身，准确的说法是：

• $f'(x) \ge 0$，且 $f'(x) = 0$ 只在孤立点成立 → 函数递增
• $f'(x) > 0$ 在整个区间上恒成立 → 函数严格递增（更强，但并非必需）

课标和高考一般不需要区分"单调递增"和"严格单调递增"这么细，记住"导数正函数增、导数负函数减"就够用；但 $x^3$ 这个反例一定要握在手里，它也是后面判断极值的标准反例。

用单调性证明不等式

单调性除了画函数走势，还有一个极重的用途：证明不等式。 思路是"移项、构造函数、证明它在某区间上非负"，把不等式问题翻译成求函数最小值的问题。

口诀四步：

1. 把要证的不等式整理成 $F(x) \ge 0$ 的形式
2. 求 $F'(x)$，判断 $F(x)$ 的单调性
3. 找出 $F(x)$ 在该区间上的最小值
4. 说明最小值 $\ge 0$，证毕

经典例子：证明对一切 $x > 0$，都有 $\ln x \le x - 1$。

构造函数 $F(x) = x - 1 - \ln x$，定义域 $(0, +\infty)$。求导得

$$F'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$$

分母在定义域上为正，符号由分子决定。 $0 < x < 1$ 时 $F'(x) < 0$，$F(x)$ 递减；$x > 1$ 时 $F'(x) > 0$，$F(x)$ 递增。所以 $F(x)$ 在 $x = 1$ 处取最小值：

$$F(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0$$

最小值是 $0$，说明 $F(x) \ge 0$ 恒成立，即 $\ln x \le x - 1$，等号只在 $x = 1$ 时取得。

这条不等式本身就很值钱。 由它能立刻得到 $\ln 2 < 1$、$\ln 3 < 2$ 这类估算；把 $x$ 换成 $x + 1$，又得 $\ln(x + 1) \le x$，说明"对数的增长比直线还慢"。

它的兄弟版本同样常用：证明对一切 $x \in \mathbb{R}$ 都有 $e^x \ge x + 1$。 构造函数 $G(x) = e^x - x - 1$，则 $G'(x) = e^x - 1$，在 $x < 0$ 时为负、$x > 0$ 时为正，故 $G$ 在 $x = 0$ 处取最小值 $G(0) = 0$，从而 $e^x \ge x + 1$。把它里面的 $x$ 换成 $x - 1$ 再两边同乘 $e$，还可得 $e^x \ge e\,x$。这两条"切线型"不等式，是证明更复杂不等式时最好用的垫脚石。

在高中数学体系里的位置

导数的正负决定函数的增减——这是导数应用的第一个、也是最核心的一个。 后续所有的内容（极值、最值、零点个数、不等式证明）都建立在单调性上：极值点是单调性的分界点，求最值要靠单调性筛候选点，证明不等式要靠单调性定最小值。学透了单调性，导数这一章就有了地基。

从思想上看，这是"局部到整体"那座桥的第一块砖。 一个点的导数只是局部信息，是拉格朗日中值定理把它累积成整段区间的整体升降；这种"用局部刻整体"的思路，是微分学一路走下去的底色。

从考试上看，单调性是必考点，通常作为导数大题的第一问出现。 它本身不难，但必须做对——第一问的单调区间错了，后面的极值、最值、参数范围会一路跟着错。这是典型的"送分题不能丢分"。

思考与拓展

1. 求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 的单调区间。
2. 已知 $f(x) = e^x - ax$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。
3. 你能证明：如果 $f'(x) > 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，那么 $f(x)$ 在 $I$ 上严格递增吗？（提示：用拉格朗日中值定理）
4. 函数 $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 的单调性如何？（提示：注意定义域，$x \neq 0$）
5. 讨论 $f(x) = x^3 - 3ax$ 的单调性。（提示：按 $a \le 0$ 与 $a > 0$ 分类，注意 $f'(x) = 0$ 有没有实根）
6. 用单调性证明：当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$。（提示：设 $H(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}$，注意 $H(0) = 0$、$H'(0) = 0$，需要求两次导）

高考母题

（2023·全国乙卷） 已知函数 $f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 1 } { x }+a } \right )ln\left ( { 1+x } \right )$ ．
(1)当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { 1,f\left ( { 1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程．
(2)若函数 $f\left ( { x } \right )$ 在 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

展开详解

(1) $\left ( { ln2 } \right )x+y-ln2=0$ ；
(2) $\left \{ a\|a≥\frac { 1 } { 2 } \right \}$ . 【分析】
（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即 $f'\left ( { x } \right )≥0$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上恒成立，整理变形可得 $g\left ( { x } \right )=ax ^ { 2 } +x-\left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )≥0$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上恒成立，然后分类讨论 $a≤0,a≥\frac { 1 } { 2 },0 < a < \frac { 1 } { 2 }$ 三种情况即可求得实数 $a$ 的取值范围.
（1）当 $a=-1$ 时， $f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 1 } { x }-1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )\left ( { x>-1 } \right )$ ， 则 $f'\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }×ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { \frac { 1 } { x }-1 } \right )×\frac { 1 } { x+1 }$ ， 据此可得 $f\left ( { 1 } \right )=0,f'\left ( { 1 } \right )=-ln2$ ， 所以函数在 $\left ( { 1,f\left ( { 1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程为 $y-0=-ln2\left ( { x-1 } \right )$ ，即 $\left ( { ln2 } \right )x+y-ln2=0$ .
（2）由函数的解析式可得 $f'\left ( { x } \right )=\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { \frac { 1 } { x }+a } \right )×\frac { 1 } { x+1 }\left ( { x>-1 } \right )$ ， 满足题意时 $f'\left ( { x } \right )≥0$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上恒成立. 令 $\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { \frac { 1 } { x }+a } \right )\frac { 1 } { x+1 }≥0$ ，则 $-\left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )+\left ( { x+ax ^ { 2 } } \right )≥0$ ， 令 $g\left ( { x } \right )=ax ^ { 2 } +x-\left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )$ ，原问题等价于 $g\left ( { x } \right )≥0$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上恒成立， 则 $g'\left ( { x } \right )=2ax-ln\left ( { x+1 } \right )$ ， 当 $a≤0$ 时，由于 $2ax≤0,ln\left ( { x+1 } \right )>0$ ，故 $g'\left ( { x } \right ) < 0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递减， 此时 $g\left ( { x } \right ) < g\left ( { 0 } \right )=0$ ，不合题意; 令 $h\left ( { x } \right )=g'\left ( { x } \right )=2ax-ln\left ( { x+1 } \right )$ ，则 $h'\left ( { x } \right )=2a-\frac { 1 } { x+1 }$ ， 当 $a≥\frac { 1 } { 2 }$ ， $2a≥1$ 时，由于 $\frac { 1 } { x+1 } < 1$ ，所以 $h'\left ( { x } \right )>0,h\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递增， 即 $g'\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递增， 所以 $g'\left ( { x } \right )>g'\left ( { 0 } \right )=0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,+∞ } \right )$ 上单调递增， $g\left ( { x } \right )>g\left ( { 0 } \right )=0$ ，满足题意. 当 $0 < a < \frac { 1 } { 2 }$ 时，由 $h'\left ( { x } \right )=2a-\frac { 1 } { x+1 }=0$ 可得 $x=\frac { 1 } { 2a }-1$ ， 当 $x∈\left ( { 0,\frac { 1 } { 2a }-1 } \right )$ 时， $h'\left ( { x } \right ) < 0,h\left ( { x } \right )$ 在区间 $\left ( { 0,\frac { 1 } { 2a }-1 } \right )$ 上单调递减，即 $g'\left ( { x } \right )$ 单调递减， 注意到 $g'\left ( { 0 } \right )=0$ ，故当 $x∈\left ( { 0,\frac { 1 } { 2a }-1 } \right )$ 时， $g'\left ( { x } \right ) < g'\left ( { 0 } \right )=0$ ， $g\left ( { x } \right )$ 单调递减， 由于 $g\left ( { 0 } \right )=0$ ，故当 $x∈\left ( { 0,\frac { 1 } { 2a }-1 } \right )$ 时， $g\left ( { x } \right ) < g\left ( { 0 } \right )=0$ ，不合题意. 综上可知：实数 $a$ 得取值范围是 $\left \{ a\|a≥\frac { 1 } { 2 } \right \}$ . 【点睛】
方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间 $\left ( { a,b } \right )$ 上单调，实际上就是在该区间上 $f'\left ( { x } \right )≥0$ (或 $f'\left ( { x } \right )≤0$ )恒成立．
②函数在区间 $\left ( { a,b } \right )$ 上存在单调区间，实际上就是 $f'\left ( { x } \right )≥0$ (或 $f'\left ( { x } \right )≤0$ )在该区间上存在解集．

一句话总结

导数定单调：导数为正函数增，导数为负函数减。求单调区间就是解导数的不等式。