第4讲 导数的运算法则——四则运算与复合函数

四则运算法则

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都可导，则：

和差法则

导数的和等于和的导数。这一条看起来显然，但它是后续所有推导的基础。

常数倍法则

常数因子可以提到导数外面。

乘法法则（莱布尼茨法则）

记忆方法："前导后不导 + 前不导后导"。

除法法则

记忆方法："上导下不导 - 上不导下导，全部除以下的平方"。

链式法则——复合函数的灵魂

设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则：

即：外层对中间的导数，乘以内层对整体的导数。

例子

1. $y = \sin(3x)$：外层是 $\sin u$，内层是 $u = 3x$。$y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$。

2. $y = e^{x^2}$：外层是 $e^u$，内层是 $u = x^2$。$y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$。

3. $y = \ln(\cos x)$：外层是 $\ln u$，内层是 $u = \cos x$。$y' = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$。

示意图

高阶导数

函数的导数本身也可以求导，得到的导数叫高阶导数。

• 一阶导数：$f'(x)$
• 二阶导数：$f''(x) = (f'(x))'$
• 三阶导数：$f'''(x) = (f''(x))'$
• n 阶导数：$f^{(n)}(x)$

二阶导数在物理学中有重要意义：位移的二阶导数是加速度。在数学中，二阶导数描述了曲线的凹凸性（下一讲会细讲）。

常见的高阶导数

• $(x^n)^{(n)} = n!$
• $(e^x)^{(n)} = e^x$
• $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + n\pi/2)$
• $(\cos x)^{(n)} = \cos(x + n\pi/2)$

三角函数的高阶导数有规律可循——每求一次导，相位增加 $\pi/2$。

隐函数求导

有些方程不能显式地解出 $y = f(x)$，比如 $x^2 + y^2 = 1$（圆的方程）。

这种情况下，我们把 $y$ 看成 $x$ 的函数，两边同时对 $x$ 求导：

这就是隐函数求导法。

在高中数学体系里的位置

求导法则本身不难——加减乘除法则和链式法则，背下来就会用。

难点在于复合函数：一个函数套很多层，求导时容易漏掉某一层。解决的办法是"分层剥离"——从外到里一层一层求，每层不忘乘以内层的导数。

高考中，求导本身通常不单独出题，而是作为后续问题的工具出现。所以求导的准确性直接决定了整道题的成败。

思考与拓展

1. 求 $y = x^2 \sin x$ 的导数。（提示：乘法法则）
2. 求 $y = \dfrac{e^x}{x}$ 的导数。（提示：除法法则）
3. 求 $y = \sqrt{\sin x}$ 的导数。（提示：链式法则，两层复合）
4. 圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上，点 $(3, 4)$ 处的切线斜率是多少？（提示：隐函数求导）

一句话总结

求导四则法则 + 链式法则，就是求导的全部武器。遇到复合函数就一层层剥，不要漏掉任何一层。