导数的运算法则——四则运算与复合函数

四则运算逐个求导，复合函数由外到内链式相乘

四则运算法则

导数的加减法很听话，导数的乘除法却各自有脾气。 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都可导，它们的和、差、积、商也都能求导，而且各自有现成的公式。这一节先把四条四则法则立起来，再逐个交代它们为什么成立。

和差法则

$$(f \pm g)' = f' \pm g'$$

两个函数的和（差）的导数，等于它们导数的和（差）。看起来太平凡，但它是后面一切推导的地基——乘法法则、链式法则的证明，第一步都是先把这条式子用上。

为什么它是对的？把定义整个写出来：

$$(f+g)' = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]}{\Delta x}$$

分子重新分组，让 $f$ 的部分与 $g$ 的部分各自凑成一个差分：

$$= \lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)$$

极限可以拆成两项分别相加，于是得到 $f'(x)+g'(x)$。整个证明只用了一件事：极限对加减法是线性的。

常数倍法则

$$(cf)' = c \cdot f'$$

常数因子可以原封不动地提到导数外面。这条同样能从定义一眼看穿：分子里每个 $f$ 的差分都带着同一个 $c$，把它提出来，正好是 $c$ 乘上原来的差商。有了和差法则与常数倍法则，多项式就能一段一段地求导了，比如

$$(3x^4 - 2x^3 + x - 5)' = 12x^3 - 6x^2 + 1$$

不必额外动脑，逐项套公式即可。

乘法法则（莱布尼茨法则）

乘积的导数不等于导数的乘积，这是全章最容易踩的坑。 正确的法则是：

$$(fg)' = f'g + fg'$$

口诀是"前导后不导，加上前不导后导"——两项里，每一项都只给一个函数求导，另一个原样保留。

它叫莱布尼茨法则，是因为莱布尼茨在整理微积分时，把它作为求导的第一批规则正式写了下来。名字背后的意思是：乘法把两个函数的变化叠在了一起，所以导数也要分成两半来看。

为什么不可能是 $f'g'$？拿最小的例子试一下。取 $f(x)=x$，$g(x)=x$，那么 $fg = x^2$。按正确的法则，$(x^2)' = 2x$；如果按错误的想法 $(x)'\cdot(x)' = 1\cdot 1 = 1$，那就和 $2x$ 对不上。可见导数的世界没有"乘法可以拆开"这种便宜事。

下面用定义把它推出来。这是本讲最值得亲手写一遍的推导。

$$(fg)'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}$$

分子里只有两个乘积相减，凑不出差分。配凑的技巧是：在分子里加一项、再减掉同样的一项，这两项都长成 $f(x)g(x+\Delta x)$：

$$f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) + f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)$$

现在四个项可以分成两组，每组各自提公因式。前两项提出 $g(x+\Delta x)$，后两项提出 $f(x)$：

$$= g(x+\Delta x)\,[f(x+\Delta x)-f(x)] + f(x)\,[g(x+\Delta x)-g(x)]$$

代回极限，再除以 $\Delta x$：

$$= \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\cdot\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} f(x)\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$$

第一个极限里，$g(x+\Delta x) \to g(x)$（可导必连续），差商趋于 $f'(x)$；第二个极限里 $f(x)$ 与 $\Delta x$ 无关，可以直接提出，差商趋于 $g'(x)$。于是

$$(fg)'(x) = g(x)f'(x) + f(x)g'(x)$$

写成习惯的顺序就是 $f'g + fg'$。整个推导的关键只有那一步"加一项减一项"，学会了这个动作，商法则也照此办理。

除法法则

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

口诀是"上导下不导，减去上不导下导，再除以分母的平方"。注意分子是减号，而且顺序不能反——这是它和乘法法则最大的差别。另外别忘了定义域：法则只在分母 $g(x)\neq 0$ 的地方成立，分母一旦为零，商本身都不存在，更谈不上求导。

它可以从乘法法则推出来。先看倒数法则：设 $h = \dfrac{1}{g}$，则 $g\cdot h = 1$。两边求导，用乘法法则：

$$g'h + gh' = 0 \quad\Rightarrow\quad h' = -\frac{g'}{g^2}$$

也就是 $\left(\dfrac{1}{g}\right)' = -\dfrac{g'}{g^2}$。再把 $\dfrac{f}{g}$ 看成 $f \cdot \dfrac{1}{g}$，用乘法法则：

$$\left(f\cdot\frac{1}{g}\right)' = f'\cdot\frac{1}{g} + f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

通分合并，商法则就到手了。

如果不用乘法法则，直接从定义推也行，只是要先通分。分子写成

$$\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x+\Delta x)g(x) - f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)}$$

再除以 $\Delta x$，然后在分子的两个乘积里各自配凑一次，最后同样会落到 $\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$。公式记不住时，就退回乘法法则，两分钟能重新推一遍。

一个算例：乘积法则

动手算一遍，比背十遍口诀管用。 求 $y = x^2\sin x$ 的导数。取 $f = x^2$，$g = \sin x$，则 $f' = 2x$，$g' = \cos x$。代入乘法法则：

$$y' = 2x\cdot\sin x + x^2\cdot\cos x = 2x\sin x + x^2\cos x$$

验算：在 $x = 0$ 处，原函数为 $0$ 且导数值也为 $0$；再取 $x = \dfrac{\pi}{2}$，$y' = \pi > 0$，说明此处函数正在上升，符号合理。

一个算例：商法则

求 $y = \dfrac{e^x}{x}$ 的导数。取 $f = e^x$，$g = x$，则 $f' = e^x$，$g' = 1$。代入商法则：

$$y' = \frac{e^x\cdot x - e^x\cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$$

验算：令 $x = 1$，得 $y' = 0$——这正是函数 $y = \dfrac{e^x}{x}$ 取到极小值的位置，结果合理。

链式法则——复合函数的灵魂

绝大多数复杂函数都是"套娃"，链式法则就是拆开套娃的那把刀。 设 $y = f(u)$，而 $u = g(x)$，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

用语言说：外层函数对中间变量的导数，乘以内层函数对自变量的导数。写成函数记号就是 $[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$。

它为什么长成这样？有一个很好用的直观解释。把 $\dfrac{dy}{du}$ 与 $\dfrac{du}{dx}$ 都看成"小变化之比"，那么

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

右边一上一下的 $du$ 仿佛约掉了——形式上像分数约分。虽然导数严格来说不是分数，但这个"可约分"的画面准确抓住了链式法则的灵魂：变化可以沿着链条一段一段往前传。也正因为如此，链式法则处理的是嵌套关系，而不是加法关系。

由外到内的操作流程

复合函数求导，永远从最外面一层开始剥。 固定四步：

1. 分层：把函数写成 $y = f(u)$、$u = g(x)$ 的形式，看清谁在外、谁在内。
2. 外导：先对外层求导，把整个内层当作一个整体（也就是先不动它）。
3. 乘内导：再乘以内层对 $x$ 的导数。
4. 回代：把 $u$ 换回原来的 $x$ 表达式。

层数多了就重复第二、三步，一层一层往里去，每进去一层就多乘一个"该层对下一层"的导数。

分层拆解的完整例子

求 $y = \sin(3x)$ 的导数。分层：外层是 $\sin u$，内层是 $u = 3x$。逐条落实四步：

• 外层对 $u$ 求导：$\dfrac{d}{du}\sin u = \cos u$；
• 内层对 $x$ 求导：$\dfrac{du}{dx} = 3$；
• 相乘：$\cos u\cdot 3$；
• 回代 $u = 3x$：$y' = 3\cos(3x)$。

再看一个指数型的：$y = e^{x^2}$。外层 $e^u$，内层 $u = x^2$。外层导数是 $e^u$，内层导数是 $2x$，所以

$$y' = e^{x^2}\cdot 2x = 2xe^{x^2}$$

还有一个对数型的：$y = \ln(\cos x)$。外层 $\ln u$，内层 $\cos x$。外层导数是 $\dfrac{1}{u}$，内层导数是 $-\sin x$，于是

$$y' = \frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\tan x$$

一个算例：三层复合

层数越多越要沉住气，一层都不能漏。 求 $y = \ln(\sin(2x))$ 的导数。它套了三层：最外层是 $\ln$，中间层是 $\sin$，最内层是 $2x$。按由外到内的顺序逐层剥：

• 最外层对中间层求导：$\dfrac{1}{\sin(2x)}$；
• 中间层对最内层求导：$\cos(2x)$；
• 最内层对 $x$ 求导：$2$。

三部分相乘：

$$y' = \frac{1}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\cdot 2 = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x)$$

验算：若漏掉最内层的 $2$，结果会差一倍，所以三层结构里"最后一层别忘了乘"尤其致命。

一个算例：幂指型函数

底数和指数里都含 $x$，两边取对数是最稳的一招。 求 $y = x^x$（$x > 0$）的导数。它既不是幂函数，也不是指数函数，四则法则和链式法则都套不上现成形式。办法是先取对数，把指数拉下来：

$$\ln y = x\ln x$$

现在两边同时对 $x$ 求导。左边用链式法则（$y$ 是 $x$ 的函数）：$\dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\cdot y'$。右边用乘法法则：$(x\ln x)' = \ln x + x\cdot\dfrac{1}{x} = \ln x + 1$。于是

$$\frac{y'}{y} = \ln x + 1 \quad\Rightarrow\quad y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$$

验算：当 $x = 1$ 时，$y' = 1^1(0 + 1) = 1$；对原函数在 $x = 1$ 附近做数值差分，斜率也约为 $1$，吻合。这种"先取对数再求导"的方法叫对数求导法，幂指型函数全靠它。

高阶导数

求出来的导数还是个函数，那就还能再求一次导。 一阶导数的导数叫二阶导数，记作 $f''(x)$；再求一次是三阶导数 $f'''(x)$；一般地第 $n$ 阶导数记作 $f^{(n)}(x)$。

$$f''(x) = (f'(x))', \qquad f'''(x) = (f''(x))'$$

二阶导数有很实在的物理意义：位移对时间的一阶导数是速度，再求一次就是加速度。在几何上，二阶导数的正负刻画曲线的凹凸——这一点下一讲单独展开。

常见的高阶导数

几条规律值得背下来：

• $(x^n)^{(n)} = n!$，一个 $n$ 次幂求 $n$ 次导，恰好剩下常数 $n!$，再求一次就是 $0$；
• $(e^x)^{(n)} = e^x$，$e^x$ 永远求导不变，这是它最特别的地方；
• $(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$；
• $(\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$。

三角函数的高阶导数有清晰的循环节奏：每求一次导，相位就往前推 $\dfrac{\pi}{2}$，四次之后回到自己。

隐函数求导

有些曲线没法写成一个明确的 $y = f(x)$，但照样能求导数。 比如圆 $x^2 + y^2 = 1$，一个 $x$ 对应上下两个 $y$，写成单个函数就会分叉。可是曲线在每一点都有切线斜率，导数一定存在。

办法是把 $y$ 看成由方程隐含决定的 $x$ 的函数，两边同时对 $x$ 求导。注意 $y^2$ 是复合的——外层平方、内层 $y(x)$，用链式法则：

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\cdot\frac{dy}{dx} = 2yy'$$

于是整个方程求导得

$$2x + 2yy' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{x}{y}$$

这就是隐函数求导法。关键动作只有一个：见到 $y$，外层求导之后别忘了再乘一个 $y'$。 求圆上某点 $(a,b)$ 的切线斜率，直接代入 $-\dfrac{a}{b}$ 即可；比如点 $\left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$ 处斜率就是 $-\dfrac{3}{4}$。

三条法则的对照

把三条法则摆在一起看，就分得清谁是谁了。 学生最容易把乘法法则和链式法则记混，其实它们回答的是两个完全不同的问题：

• 乘法法则处理"两个函数相乘"：$(fg)' = f'g + fg'$，结果是加法结构；
• 链式法则处理"一个函数套在另一个里面"：$[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)$，结果是乘法结构；
• 商法则处理"一个函数除以另一个"：$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$，分母要平方。

一句话区分：看到乘号，想"两项相加"；看到嵌套，想"两层相乘"。

在高中数学体系里的位置

求导法则是导数这一章的手艺活，高考不单独考它，但处处用它。 四则法则和链式法则本身不难，背下公式就会用；真正的难点是复合函数——套的层数一多，就容易漏掉某一层的导数。解决办法始终是那句"由外到内，一层层剥，每层都不忘乘内导"。

高考里，求导几乎永远作为工具出现：研究单调性要先把导数求对，求极值最值要靠导数的零点，证明不等式要用导数构造新函数。所以求导的准确性直接决定整道大题的成败——第一问的导数算错，后面全盘皆输。这一讲把四则法则、链式法则、高阶导数、隐函数求导串成一套完整工具，后面的应用才有底气。

思考与拓展

1. 求 $y = x^2\sin x$ 的导数，再用 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 代进去，检查一下导数值的符号是否合理。
2. 求 $y = \dfrac{e^x}{x}$ 在 $x = 1$ 处的导数值，并解释为什么这里恰好是极值点。
3. 求 $y = \ln(\sin(2x))$ 的导数，数一数它一共用了几层复合。
4. 求 $y = x^x$ 在 $x = 2$ 处的导数，并对原函数做数值差分检验。
5. 圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上，点 $(3,4)$ 处切线斜率是多少？为什么这里用隐函数求导比解出 $y$ 更方便？

高考母题

（2024·北京） 设函数 $f\left ( { x } \right )=x+kln\left ( { { 1 }+x } \right )\left ( { k≠0 } \right )$ ，直线 $l$ 是曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { t,f\left ( { t } \right ) } \right )\left ( { t>0 } \right )$ 处的切线．
(1)当 $k=-{ 1 }$ 时，求 $f\left ( { x } \right )$ 的单调区间.
(2)求证： $l$ 不经过点 $\left ( { 0,0 } \right )$ .
(3)当 $k=1$ 时，设点 $A\left ( { t,f\left ( { t } \right ) } \right )\left ( { t>0 } \right )$ ， $C\left ( { 0,f\left ( { t } \right ) } \right )$ ， $O\left ( { 0,0 } \right )$ ， $B$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点， $S_{ \vartriangle ACO }$ 与 $S_{ △ABO }$ 分别表示 $\vartriangle ACO$ 与 $\vartriangle ABO$ 的面积．是否存在点 $A$ 使得 ${ 2 }S_{ △ACO } ={ 1 }{ 5 }S_{ △ABO }$ 成立？若存在，这样的点 $A$ 有几个？ （参考数据： ${ 1 }.0{ 9 } < ln{ 3 } < { 1 }.{ 1 }0$ ， ${ 1 }.{ 6 }0 < ln{ 5 } < { 1 }.{ 6 }{ 1 }$ ， ${ 1 }.{ 9 }{ 4 } < ln{ 7 } < { 1 }.{ 9 }{ 5 }$ ）

展开详解

(1)单调递减区间为 $(-1,0)$ ，单调递增区间为 $(0,+∞)$ .
(2)证明见解析
(3)2 【分析】
（1）直接代入 $k=-1$ ，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程 $y-f(t)=\left ( { 1+\frac { k } { 1+t } } \right )(x-t)(t>0)$ ，将 $(0,0)$ 代入再设新函数 $F(t)=ln(1+t)-\frac { t } { 1+t }$ ，利用导数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入 $2S_{ \vartriangle ACO } =15S_{ ABO }$ 得到 $13ln(1+t)-2t-15\frac { t } { 1+t }=0$ ，再设新函数 $h(t)=13ln(1+t)-2t-\frac { 15t } { 1+t }(t>0)$ 研究其零点即可.
（1） $f(x)=x-ln(1+x),f'(x)=1-\frac { 1 } { 1+x }=\frac { x } { 1+x }(x>-1)$ ， 当 $x∈\left ( { -1,0 } \right )$ 时， $f'\left ( { x } \right ) < 0$ ；当 $x∈\left ( { 0,+∞ } \right )$ ， $f'\left ( { x } \right )>0$ ； $∴f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,+∞)$ 上单调递增. 则 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-1,0)$ ，单调递增区间为 $(0,+∞)$ .
（2） $f'(x)=1+\frac { k } { 1+x }$ ，切线 $l$ 的斜率为 $1+\frac { k } { 1+t }$ ， 则切线方程为 $y-f(t)=\left ( { 1+\frac { k } { 1+t } } \right )(x-t)(t>0)$ ， 将 $(0,0)$ 代入则 $-f(t)=-t\left ( { 1+\frac { k } { 1+t } } \right ),f(t)=t\left ( { 1+\frac { k } { 1+t } } \right )$ ， 即 $t+kln(1+t)=t+t\frac { k } { 1+t }$ ，则 $ln(1+t)=\frac { t } { 1+t }$ ， $ln(1+t)-\frac { t } { 1+t }=0$ ， 令 $F(t)=ln(1+t)-\frac { t } { 1+t }$ ， 假设 $l$ 过 $(0,0)$ ，则 $F(t)$ 在 $t∈(0,+∞)$ 存在零点. $F'(t)=\frac { 1 } { 1+t }-\frac { 1+t-t } { (1+t) ^ { 2 } }=\frac { t } { (1+t) ^ { 2 } }>0$ ， $∴F(t)$ 在 $(0,+∞)$ 上单调递增， $F(t)>F(0)=0$ ， $∴F(t)$ 在 $(0,+∞)$ 无零点， $∴$ 与假设矛盾，故直线 $l$ 不过 $(0,0)$ .
（3） $k=1$ 时， $f(x)=x+ln(1+x),f'(x)=1+\frac { 1 } { 1+x }=\frac { x+2 } { 1+x }>0$ . $S_{ \vartriangle ACO } =\frac { 1 } { 2 }tf(t)$ ，设 $l$ 与 $y$ 轴交点 $B$ 为 $(0,q)$ ， $t>0$ 时，若 $q < 0$ ，则此时 $l$ 与 $f(x)$ 必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知 $q≠0$ .所以 $q>0$ ， 则切线 $l$ 的方程为 $y-t-ln\left ( { t+1 } \right )=\left ( { 1+\frac { 1 } { 1+t } } \right )\left ( { x-t } \right )$ ， 令 $x=0$ ，则 $y=q=y=ln(1+t)-\frac { t } { t+1 }$ . $\because 2S_{ \vartriangle ACO } =15S_{ ABO }$ ，则 $2tf(t)=15t\left[ ln(1+t)-\frac { t } { t+1 } \right]$ ， $∴13ln(1+t)-2t-15\frac { t } { 1+t }=0$ ，记 $h(t)=13ln(1+t)-2t-\frac { 15t } { 1+t }(t>0)$ ， $∴$ 满足条件的 $A$ 有几个即 $h(t)$ 有几个零点. $h'\left ( { t } \right )=\frac { 13 } { 1+t }-2-\frac { 15 } { \left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 13t+13-2\left ( { t ^ { 2 } +2t+1 } \right )-15 } { \left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { -2t ^ { 2 } +9t-4 } { \left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \left ( { -2t+1 } \right )\left ( { t-4 } \right ) } { \left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } }$ ， 当 $t∈\left ( { 0,\frac { 1 } { 2 } } \right )$ 时， $h'\left ( { t } \right ) < 0$ ，此时 $h\left ( { t } \right )$ 单调递减； 当 $t∈\left ( { \frac { 1 } { 2 },4 } \right )$ 时， $h'\left ( { t } \right )>0$ ，此时 $h\left ( { t } \right )$ 单调递增； 当 $t∈\left ( { 4,+∞ } \right )$ 时， $h'\left ( { t } \right ) < 0$ ，此时 $h\left ( { t } \right )$ 单调递减； 因为 $h(0)=0,h\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )0,h(4)=13ln5-2013×1.6-20=0.8>0$ ， $h(24)=13ln25-48-\frac { 15×24 } { 25 }=26ln5-48-\frac { 72 } { 5 } < 26×1.61-48-\frac { 72 } { 5 }=-20.54 < 0$ ， 所以由零点存在性定理及 $h(t)$ 的单调性， $h(t)$ 在 $\left ( { \frac { 1 } { 2 },4 } \right )$ 上必有一个零点，在 $(4,24)$ 上必有一个零点， 综上所述， $h(t)$ 有两个零点，即满足 $2S_{ ACO } =15S_{ ABO }$ 的 $A$ 有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.

一句话总结

四则法则加链式法则，就是求导的全部武器。乘积要"两项相加"，复合要"两层相乘"，遇到复合函数就由外到内一层层剥，任何一层都不许漏。