∫π每天一道数学题
← 返回函数与导数
函数与导数 · 第 3 讲 · 2026-09-27 · 约 9 分钟

基本初等函数的导数公式——一套公式走天下

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式，全部从定义推导出来。记住推导过程，比死记硬背重要一百倍。

基本公式表

导数公式是导数世界的乘法口诀，背不下来，后面寸步难行。

前两讲我们弄清了导数是什么、它在几何上代表什么。可真要动手求一个函数的导数时，总不能每次都退回定义、老老实实算一遍极限——既慢，稍微复杂一点还化简不动。所以数学家早就把最常见的几类函数先求好导，整理成一张表，我们只要把它背熟、用活就行。

表里的函数都是基本初等函数，一共四类，再加一个常数函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。

函数导数口诀
f(x)=Cf(x) = C（常数）f′(x)=0f'(x) = 0常数无变化
f(x)=xnf(x) = x^nf′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}指数下来，幂减一
f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x正弦变余弦
f(x)=cos⁡xf(x) = \cos xf′(x)=−sin⁡xf'(x) = -\sin x余弦变负正弦
f(x)=exf(x) = e^xf′(x)=exf'(x) = e^x导数还是自己
f(x)=axf(x) = a^xf′(x)=axln⁡af'(x) = a^x \ln a底不同，多一个对数
f(x)=ln⁡xf(x) = \ln xf′(x)=1xf'(x) = \dfrac{1}{x}对数导数变倒数
f(x)=log⁡axf(x) = \log_a xf′(x)=1xln⁡af'(x) = \dfrac{1}{x\ln a}分母再乘底的对数

这张表有两点要提醒。第一，f(x)=xnf(x) = x^n 里的 nn 可以是任意实数，不限于正整数，这一点后面会专门展开。第二，ln⁡x\ln x 与 axa^x 这两个公式里都出现了 ln⁡\ln，它们不是随手配上去的零碎，而是和底数 ee 牢牢绑在一起——这是整张表的灵魂。

先看一个最直接的例子：f(x)=x5+sin⁡xf(x) = x^5 + \sin x。用表里的两条公式，一行就得到 f′(x)=5x4+cos⁡xf'(x) = 5x^4 + \cos x。要是每题都退回定义去算极限，两道题就能耗掉一节课。这张表存在的意义，就是让求导变成查表加运算，把省下的精力全部留给后面的分析。

示意图

基本初等函数的导数公式四大家族

四类函数，八个公式，全部可以由导数定义推出来——推导比背诵值钱一百倍

为什么这些公式值得背

背公式不是为了偷懒，而是为了把有限的力气花在真正难的地方。

如果不背，求 f(x)=3x4−2x3+xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x 的导数，你得对每一项都用定义从头算一遍极限：

(3x4)′=lim⁡Δx→03(x+Δx)4−3x4Δx(3x^4)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(x+\Delta x)^4 - 3x^4}{\Delta x}

展开四次方、相减、约分、取极限——光一项就够折腾半页纸。而用了公式，一行就出结果：f′(x)=12x3−6x2+1f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 1。

更要紧的是，高考考导数，重点从来不是"你会不会求导"，而是"求导之后你能拿它研究什么"——单调性、极值、最值、不等式。求导只是第一小步。求导越快越准，你留给后面分析的时间和脑力就越多。 反过来，公式记错一个符号，后面整道题全盘皆输。所以这几条公式不是可背可不背，而是必须背到条件反射。

还有一点必须强调：背的前提是懂。 每一条公式都从定义来得干干净净，下面我们把四类函数逐一推一遍。看懂了推导，背起来就是顺水推舟；看不懂推导，硬记就是死记硬背，考场上紧张一下全忘光。

换个角度再看这张表，它其实还说明了一件事：再复杂的初等函数，剥到最里面，都是由这四类基本函数拼出来的。 所以掌握了这四类，等于拿到了打开所有初等函数求导大门的一把钥匙。

重点公式的推导

幂函数：(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

幂函数是最常用的公式，先拿它开刀。

先假设 nn 是正整数，直接用定义：

(xn)′=lim⁡Δx→0(x+Δx)n−xnΔx(x^n)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

关键是把 (x+Δx)n(x+\Delta x)^n 展开。用二项式定理：

(x+Δx)n=xn+nxn−1Δx+n(n−1)2xn−2(Δx)2+⋯+(Δx)n(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots + (\Delta x)^n

减去 xnx^n，再整体除以 Δx\Delta x：

(x+Δx)n−xnΔx=nxn−1+n(n−1)2xn−2Δx+⋯+(Δx)n−1\frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} = nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}\Delta x + \cdots + (\Delta x)^{n-1}

让 Δx→0\Delta x \to 0，所有还带着 Δx\Delta x 的项统统消失，只剩第一项：

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

这个公式可以推广到任意实数指数。 当 nn 是分数、负数，甚至无理数时，(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1} 的形式一模一样，不必另记新公式。比如：

(x)′=(x1/2)′=12x−1/2=12x(\sqrt{x})' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} (1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

第一条我们在第 1 讲用有理化算过，结果完全一致。这说明只要把根式、分式一律改写成 xnx^n 的形式，幂函数公式就能通吃。做题时看到根号、看到分母，第一反应就是先把它们改写成 xnx^n。

这里再补一句：当指数 nn 是无理数时，(x+Δx)n(x+\Delta x)^n 的展开不再是有限的几项，而要写成无穷级数，推导会拖得很长；但推导的手段变了，结论的形式却纹丝不动。所以做题时根本不必管指数是整数、分数还是无理数，认准 nxn−1nx^{n-1} 一个式子就够了。

指数函数：(ex)′=ex(e^x)' = e^x 与 (ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x\ln a

指数函数里，底数 ee 是一个被特意选出来的特殊底数。

用定义算 (ex)′(e^x)'，先把分子里的 ex+Δxe^{x+\Delta x} 拆成 ex⋅eΔxe^x \cdot e^{\Delta x}，把与 Δx\Delta x 无关的 exe^x 提出来：

(ex)′=lim⁡Δx→0ex+Δx−exΔx=exlim⁡Δx→0eΔx−1Δx(e^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}

剩下的极限 lim⁡Δx→0eΔx−1Δx\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} 恰好等于 1。这不是巧合——ee 这个数就是被定义成"让这个极限等于 1"的那个底数（等价的说法是 lim⁡t→0(1+t)1/t=e\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t} = e）。于是：

(ex)′=ex(e^x)' = e^x

这就是 ee 最了不起的地方：exe^x 的导数就是它自己。 换成大白话——这个函数在任意一点的"增长速度"，永远等于它此刻的大小。今天的量越大，长得越快；这正是人口、细菌、复利这些"增长率正比于当前值"的现象天然要用 exe^x 描述的原因。

其他底数就没这么幸运了。一般的 axa^x，先把它改写成以 ee 为底：因为 a=eln⁡aa = e^{\ln a}，所以 ax=exln⁡aa^x = e^{x\ln a}，再用链式法则（外层是 ee 的指数函数，内层是 xln⁡ax\ln a）：

(ax)′=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡a(a^x)' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a

底数换成 aa，代价就是多乘一个 ln⁡a\ln a。只有 ln⁡e=1\ln e = 1 的时候这个"代价"才会消失，exe^x 才回到"导数等于自己"。这就是 exe^x 特殊、其他 axa^x 不特殊的全部原因。

对数函数：(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

对数函数的导数，是借反函数从指数函数那里"倒推"出来的。

设 y=ln⁡xy = \ln x，由对数的定义，这等价于：

x=eyx = e^y

把 xx 看成 yy 的函数，它对 yy 求导很容易：dxdy=ey\dfrac{dx}{dy} = e^y。而我们要的 dydx\dfrac{dy}{dx} 正是它的倒数（反函数求导公式）：

dydx=1dx/dy=1ey\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{e^y}

又因为 ey=xe^y = x，所以：

(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

自然对数的导数干净利落地就是倒数，没有任何多余常数——这又是 ee 带来的好处。换成一般底数 log⁡ax\log_a x，先用换底公式写成 log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}，把常数 1ln⁡a\dfrac{1}{\ln a} 提到外面：

(log⁡ax)′=1ln⁡a⋅1x=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}

三角函数：(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x

正弦的导数要从定义硬算，但要借助两个关键极限。

还是从定义出发：

(sin⁡x)′=lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx(\sin x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x}

用和角公式把分子的第一项展开：

sin⁡(x+Δx)=sin⁡xcos⁡Δx+cos⁡xsin⁡Δx\sin(x+\Delta x) = \sin x\cos\Delta x + \cos x\sin\Delta x

代回分子，合并成两项：

sin⁡(x+Δx)−sin⁡x=sin⁡x(cos⁡Δx−1)+cos⁡xsin⁡Δx\sin(x+\Delta x) - \sin x = \sin x(\cos\Delta x - 1) + \cos x\sin\Delta x

两边除以 Δx\Delta x，再让两项分开取极限：

(sin⁡x)′=sin⁡x⋅lim⁡Δx→0cos⁡Δx−1Δx+cos⁡x⋅lim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx(\sin x)' = \sin x \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x} + \cos x \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}

这里要用上两个重要极限。第一个是经典的 lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\lim_{\theta \to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1——在弧度制下，小角的正弦几乎就等于角本身。第二个是 lim⁡Δx→0cos⁡Δx−1Δx=0\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x} = 0，因为 cos⁡Δx−1=−2sin⁡2Δx2\cos\Delta x - 1 = -2\sin^2\dfrac{\Delta x}{2}，是二阶小量，除以一次 Δx\Delta x 后仍然趋于 0。

代入：

(sin⁡x)′=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x(\sin x)' = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x

余弦同理，只是和角公式这里换成了减号：

cos⁡(x+Δx)=cos⁡xcos⁡Δx−sin⁡xsin⁡Δx\cos(x+\Delta x) = \cos x\cos\Delta x - \sin x\sin\Delta x

同样化简、同样取极限，得到：

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x

余弦求导会多出一个负号，这是最容易写漏的地方。

还有一条常被忽略的前提：上面两个结论只在弧度制下成立。 因为推导里用到了 lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\lim_{\theta \to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1，而这个极限只有在弧度制下才等于 1；若换成度制，极限会多出一个换算常数，公式就不再这么干净利落。这也是微积分里三角函数的自变量一律采用弧度的根本原因。

公式速查表

把公式按家族排好，考前扫一眼就够。

家族函数导数定义域提示
常数y=Cy = Cy′=0y' = 0全体实数
幂函数y=xny = x^ny′=nxn−1y' = nx^{n-1}nn 为任意实数
指数y=exy = e^xy′=exy' = e^x全体实数
指数y=axy = a^x（a>0a>0，a≠1a\neq 1）y′=axln⁡ay' = a^x\ln a全体实数
对数y=ln⁡xy = \ln xy′=1xy' = \dfrac{1}{x}x>0x > 0
对数y=log⁡axy = \log_a xy′=1xln⁡ay' = \dfrac{1}{x\ln a}x>0x > 0
三角y=sin⁡xy = \sin xy′=cos⁡xy' = \cos x全体实数
三角y=cos⁡xy = \cos xy′=−sin⁡xy' = -\sin x全体实数

背这张表有个诀窍：抓住"成对"的两条。 exe^x 与 ln⁡x\ln x 互为反函数，一个有"导数等于自己"，另一个就"导数等于倒数"；axa^x 与 log⁡ax\log_a x 则各自多出一个 ln⁡a\ln a 或 1ln⁡a\dfrac{1}{\ln a}。抓住这层关系，八条公式立刻缩成三组来记。

记忆技巧

口诀只是拐杖，理解才是腿。

幂函数：xx 的 nn 次方的导数是 nn 乘 xx 的 n−1n-1 次方——"指数下来，幂减一"。根式、分式先化成 xnx^n 再用。

指数函数：exe^x 导数是自身，axa^x 导数是自身乘 ln⁡a\ln a——"底不同，多一个对数"。

对数函数：ln⁡x\ln x 导数是 1x\dfrac{1}{x}，log⁡ax\log_a x 导数是 1xln⁡a\dfrac{1}{x\ln a}——"对数导数带倒数，换底多除一个对数"。

三角函数：正弦导数是余弦，余弦导数是负的正弦——"正弦变余弦，余弦带负号"。

常见错误

下面几条错误几乎每个学生都犯过，提前认清，考场上能少丢不少分。

错误一：把积的导数当成导数的积。 看到 (uv)(uv) 就下意识写成 u′v′u'v'，这是大错。比如 f(x)=x⋅x=x2f(x) = x\cdot x = x^2，它的导数是 2x2x；而 f′(x)f'(x) 若是"两项各求导再相乘"，会得到 x′⋅x′=1⋅1=1x' \cdot x' = 1 \cdot 1 = 1，两者根本不等。函数的乘积求导有自己的法则（"前导后不导加前不导后导"），下一讲专门讲，绝不能想当然。

错误二：漏掉余弦求导的负号。 (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x，那个负号是算出来的，不是可有可无的装饰。

错误三：混淆指数与对数，或漏掉 ln⁡a\ln a。 axa^x 的导数是 axln⁡aa^x\ln a，不是 axa^x；log⁡ax\log_a x 的导数是 1xln⁡a\dfrac{1}{x\ln a}，不是 1x\dfrac{1}{x}。只有底数恰好是 ee 时，这些多出来的对数才等于 1、才会消失。

错误四：把常数不当函数。 (C)′=0(C)' = 0，任何一个常数的导数都是 0，别写成 CC 或者 1。

错误五：复合函数忘了内层。 (sin⁡2x)′(\sin 2x)' 不是 cos⁡2x\cos 2x，而是 2cos⁡2x2\cos 2x——内层还有一层要乘。这个坑下一讲会用链式法则专门填上。

复合函数的求导——链式法则

基本公式只管"基本"函数，套起来的部分要靠链式法则补上。

一个函数嵌套在另一个函数里面：y=f(g(x))y = f(g(x))。链式法则说：

y′=f′(g(x))⋅g′(x)y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

即"外层函数的导数，乘以内层函数的导数"。

例子：(sin⁡x2)′=cos⁡(x2)⋅2x(\sin x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x。外层是 sin⁡u\sin u，内层是 u=x2u = x^2；外层导数是 cos⁡u\cos u，内层导数是 2x2x，相乘得 cos⁡(x2)⋅2x\cos(x^2)\cdot 2x。

链式法则是导数运算中最核心的法则，几乎所有复杂函数的求导都用得到。一句话概括：从外往里，一层一层剥，每剥一层都要乘上内层的导数。

在高中数学体系里的位置

基本导数公式是后续所有内容的地基，地基不牢，上面全塌。

后面我们要用导数研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性，前提都是先会求导。高考中求导是工具而不是目的——不会求导，后面全白搭。所以求导公式必须滚瓜烂熟，看到任何函数都能立刻写出导数，才谈得上下一步的分析。

从考试角度看，基本公式主要出现在两类地方：一是选择填空里直接考某一点的导数值，二是解答题的第一步——把函数求导，后续全靠这一步的正确性。第一步错，后面全错，这是导数大题最常见的失分方式。

思考与拓展

  1. 求下列函数的导数：y=3x4−2x3+x−5y = 3x^4 - 2x^3 + x - 5。
  2. 用幂函数公式求 y=x3y = \sqrt[3]{x} 与 y=1x2y = \dfrac{1}{x^2} 的导数。（提示：先写成 xnx^n）
  3. 求 y=e2xy = e^{2x} 的导数。（提示：链式法则）
  4. 求 y=ln⁡(sin⁡x)y = \ln(\sin x) 的导数。
  5. 你能从 (ex)′=ex(e^x)' = e^x 推出 (ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a 吗？（提示：把 axa^x 写成 exln⁡ae^{x\ln a}）
  6. f(x)=x2f(x) = x^2 与 g(x)=x2+5g(x) = x^2 + 5 的导数为什么相同？这说明求导丢掉了函数的什么信息？

高考母题

（2022·浙江） 设函数 f(x)=e2x+lnx(x>0)f(x)=\frac { e } { 2x }+lnx(x>0) ．
(1)求 f(x)f(x) 的单调区间；
(2)已知 a,b∈Ra,b∈R ，曲线 y=f(x)y=f(x) 上不同的三点 (x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))\left ( { x_{ 1 } ,f\left ( { x_{ 1 } } \right ) } \right ),\left ( { x_{ 2 } ,f\left ( { x_{ 2 } } \right ) } \right ),\left ( { x_{ 3 } ,f\left ( { x_{ 3 } } \right ) } \right ) 处的切线都经过点 (a,b)(a,b) ．证明： （ⅰ）若 a>ea>e ，则 0<b−f(a)<12(ae−1)0 < b-f(a) < \frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { a } { e }-1 } \right ) ； （ⅱ）若 0<a<e,x1<x2<x30 < a < e,x_{ 1 } < x_{ 2 } < x_{ 3 } ，则 2e+e−a6e2<1x1+1x3<2a−e−a6e2\frac { 2 } { e }+\frac { e-a } { 6e ^ { 2 } } < \frac { 1 } { x_{ 1 } }+\frac { 1 } { x_{ 3 } } < \frac { 2 } { a }-\frac { e-a } { 6e ^ { 2 } } ． （注： e=2.71828⋯e=2.71828\cdots 是自然对数的底数）

展开详解

(1) f(x)f\left ( { x } \right ) 的减区间为 (0,e2)\left ( { 0,\frac { e } { 2 } } \right ) ，增区间为 (e2,+∞)\left ( { \frac { e } { 2 },+∞ } \right ) .
(2)（ⅰ）因为过 (a,b)\left ( { a,b } \right ) 有三条不同的切线，设切点为 (xi,f(xi)),i=1,2,3\left ( { x_{ i } ,f\left ( { x_{ i } } \right ) } \right ),i=1,2,3 ， 故 f(xi)−b=f′(xi)(xi−a)f\left ( { x_{ i } } \right )-b=f'\left ( { x_{ i } } \right )\left ( { x_{ i } -a } \right ) ， 故方程 f(x)−b=f′(x)(x−a)f\left ( { x } \right )-b=f'\left ( { x } \right )\left ( { x-a } \right ) 有3个不同的根， 该方程可整理为 (1x−e2x2)(x−a)−e2x−lnx+b=0\left ( { \frac { 1 } { x }-\frac { e } { 2x ^ { 2 } } } \right )\left ( { x-a } \right )-\frac { e } { 2x }-lnx+b=0 ， 设 g(x)=(1x−e2x2)(x−a)−e2x−lnx+bg\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 1 } { x }-\frac { e } { 2x ^ { 2 } } } \right )\left ( { x-a } \right )-\frac { e } { 2x }-lnx+b ， 则 g′(x)=1x−e2x2+(−1x2+ex3)(x−a)−1x+e2x2g'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x }-\frac { e } { 2x ^ { 2 } }+\left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } }+\frac { e } { x ^ { 3 } } } \right )\left ( { x-a } \right )-\frac { 1 } { x }+\frac { e } { 2x ^ { 2 } } =−1x3(x−e)(x−a)=-\frac { 1 } { x ^ { 3 } }\left ( { x-e } \right )\left ( { x-a } \right ) ， 当 0<x<e0 < x < e 或 x>ax>a 时， g′(x)<0g'\left ( { x } \right ) < 0 ；当 e<x<ae < x < a 时， g′(x)>0g'\left ( { x } \right )>0 ， 故 g(x)g\left ( { x } \right ) 在 (0,e),(a,+∞)\left ( { 0,e } \right ),\left ( { a,+∞ } \right ) 上为减函数，在 (e,a)\left ( { e,a } \right ) 上为增函数， 因为 g(x)g\left ( { x } \right ) 有3个不同的零点，故 g(e)<0g\left ( { e } \right ) < 0 且 g(a)>0g\left ( { a } \right )>0 ， 故 (1e−e2e2)(e−a)−e2e−lne+b<0\left ( { \frac { 1 } { e }-\frac { e } { 2e ^ { 2 } } } \right )\left ( { e-a } \right )-\frac { e } { 2e }-lne+b < 0 且 (1a−e2a2)(a−a)−e2a−lna+b>0\left ( { \frac { 1 } { a }-\frac { e } { 2a ^ { 2 } } } \right )\left ( { a-a } \right )-\frac { e } { 2a }-lna+b>0 ， 整理得到： b<a2e+1b < \frac { a } { 2e }+1 且 b>e2a+lna=f(a)b>\frac { e } { 2a }+lna=f\left ( { a } \right ) ， 此时 b−f(a)−12(ae−1)<a2e+1−(e2a+lna)−a2e+12=32−e2a−lnab-f\left ( { a } \right )-\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { a } { e }-1 } \right ) < \frac { a } { 2e }+1-\left ( { \frac { e } { 2a }+lna } \right )-\frac { a } { 2e }+\frac { 1 } { 2 }=\frac { 3 } { 2 }-\frac { e } { 2a }-lna ， 设 u(a)=32−e2a−lnau\left ( { a } \right )=\frac { 3 } { 2 }-\frac { e } { 2a }-lna ，则 u′(a)=e−2a2a2<0u'\left ( { a } \right )=\frac { e-2a } { 2a ^ { 2 } } < 0 ， 故 u(a)u\left ( { a } \right ) 为 (e,+∞)\left ( { e,+∞ } \right ) 上的减函数，故 u(a)<32−e2e−lne=0u\left ( { a } \right ) < \frac { 3 } { 2 }-\frac { e } { 2e }-lne=0 ， 故 0<b−f(a)<12(ae−1)0 < b-f\left ( { a } \right ) < \frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { a } { e }-1 } \right ) . （ⅱ）当 0<a<e0 < a < { e } 时，同（ⅰ）中讨论可得： 故 g(x)g\left ( { x } \right ) 在 (0,a),(e,+∞)\left ( { 0,a } \right ),\left ( { e,+∞ } \right ) 上为减函数，在 (a,e)\left ( { a,e } \right ) 上为增函数， 不妨设 x1<x2<x3x_{ 1 } < x_{ 2 } < x_{ 3 } ，则 0<x1<a<x2<e<x30 < x_{ 1 } < a < x_{ 2 } < e < x_{ 3 } ， 因为 g(x)g\left ( { x } \right ) 有3个不同的零点，故 g(a)<0g\left ( { a } \right ) < 0 且 g(e)>0g\left ( { e } \right )>0 ， 故 (1e−e2e2)(e−a)−e2e−lne+b>0\left ( { \frac { 1 } { e }-\frac { e } { 2e ^ { 2 } } } \right )\left ( { e-a } \right )-\frac { e } { 2e }-lne+b>0 且 (1a−e2a2)(a−a)−e2a−lna+b<0\left ( { \frac { 1 } { a }-\frac { e } { 2a ^ { 2 } } } \right )\left ( { a-a } \right )-\frac { e } { 2a }-lna+b < 0 ， 整理得到： a2e+1<b<a2e+lna\frac { a } { 2e }+1 < b < \frac { a } { 2e }+lna ， 因为 x1<x2<x3x_{ 1 } < x_{ 2 } < x_{ 3 } ，故 0<x1<a<x2<e<x30 < x_{ 1 } < a < x_{ 2 } < e < x_{ 3 } ， 又 g(x)=1−a+ex+ea2x2−lnx+bg\left ( { x } \right )=1-\frac { a+e } { x }+\frac { ea } { 2x ^ { 2 } }-lnx+b ， 设 t=ext=\frac { e } { x } ， ae=m∈(0,1)\frac { a } { e }=m∈\left ( { 0,1 } \right ) ，则方程 1−a+ex+ea2x2−lnx+b=01-\frac { a+e } { x }+\frac { ea } { 2x ^ { 2 } }-lnx+b=0 即为： −a+eet+a2et2+lnt+b=0-\frac { a+e } { e }t+\frac { a } { 2e }t ^ { 2 } +lnt+b=0 即为 −(m+1)t+m2t2+lnt+b=0-\left ( { m+1 } \right )t+\frac { m } { 2 }t ^ { 2 } +lnt+b=0 ， 记 t1=ex1,t2=ex2,t3=ex3,t_{ 1 } =\frac { e } { x_{ 1 } },t_{ 2 } =\frac { e } { x_{ 2 } },t_{ 3 } =\frac { e } { x_{ 3 } }, 则 t1,t2,t3t_{ 1 } ,t_{ 2 } ,t_{ 3 } 为 −(m+1)t+m2t2+lnt+b=0-\left ( { m+1 } \right )t+\frac { m } { 2 }t ^ { 2 } +lnt+b=0 有三个不同的根， 设 k=t1t3=x3x1>ea>1k=\frac { t_{ 1 } } { t_{ 3 } }=\frac { x_{ 3 } } { x_{ 1 } }>\frac { e } { a }>1 ， m=ae<1m=\frac { a } { e } < 1 ， 要证： 2e+e−a6e2<1x1+1x3<2a−e−a6e2\frac { 2 } { e }+\frac { e-a } { 6e ^ { 2 } } < \frac { 1 } { x_{ 1 } }+\frac { 1 } { x_{ 3 } } < \frac { 2 } { a }-\frac { e-a } { 6e ^ { 2 } } ，即证 2+e−a6e<t1+t3<2ea−e−a6e2+\frac { e-a } { 6e } < t_{ 1 } +t_{ 3 } < \frac { 2e } { a }-\frac { e-a } { 6e } ， 即证： 13−m6<t1+t3<2m−1−m6\frac { 13-m } { 6 } < t_{ 1 } +t_{ 3 } < \frac { 2 } { m }-\frac { 1-m } { 6 } ， 即证： (t1+t3−13−m6)(t1+t3−2m+1−m6)<0\left ( { t_{ 1 } +t_{ 3 } -\frac { 13-m } { 6 } } \right )\left ( { t_{ 1 } +t_{ 3 } -\frac { 2 } { m }+\frac { 1-m } { 6 } } \right ) < 0 ， 即证： t1+t3−2−2m<(m−13)(m2−m+12)36m(t1+t3)t_{ 1 } +t_{ 3 } -2-\frac { 2 } { m } < \frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 36m\left ( { t_{ 1 } +t_{ 3 } } \right ) } ， 而 −(m+1)t1+m2t12+lnt1+b=0-\left ( { m+1 } \right )t_{ 1 } +\frac { m } { 2 }t_{ 1 } ^{ 2 }+lnt_{ 1 } +b=0 且 −(m+1)t3+m2t32+lnt3+b=0-\left ( { m+1 } \right )t_{ 3 } +\frac { m } { 2 }t_{ 3 } ^{ 2 }+lnt_{ 3 } +b=0 ， 故 lnt1−lnt3+m2(t12−t32)−(m+1)(t1−t3)=0lnt_{ 1 } -lnt_{ 3 } +\frac { m } { 2 }\left ( { t_{ 1 } ^{ 2 }-t_{ 3 } ^{ 2 } } \right )-\left ( { m+1 } \right )\left ( { t_{ 1 } -t_{ 3 } } \right )=0 ， 故 t1+t3−2−2m=−2m×lnt1−lnt3t1−t3t_{ 1 } +t_{ 3 } -2-\frac { 2 } { m }=-\frac { 2 } { m }×\frac { lnt_{ 1 } -lnt_{ 3 } } { t_{ 1 } -t_{ 3 } } ， 故即证： −2m×lnt1−lnt3t1−t3<(m−13)(m2−m+12)36m(t1+t3)-\frac { 2 } { m }×\frac { lnt_{ 1 } -lnt_{ 3 } } { t_{ 1 } -t_{ 3 } } < \frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 36m\left ( { t_{ 1 } +t_{ 3 } } \right ) } ， 即证： (t1+t3)lnt1t3t1−t3+(m−13)(m2−m+12)72>0\frac { \left ( { t_{ 1 } +t_{ 3 } } \right )ln\frac { t_{ 1 } } { t_{ 3 } } } { t_{ 1 } -t_{ 3 } }+\frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72 }>0 即证： (k+1)lnkk−1+(m−13)(m2−m+12)72>0\frac { \left ( { k+1 } \right )lnk } { k-1 }+\frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72 }>0 ， 记 φ(k)=(k+1)lnkk−1,k>1φ\left ( { k } \right )=\frac { \left ( { k+1 } \right )lnk } { k-1 },k>1 ，则 φ′(k)=1(k−1)2(k−1k−2lnk)φ'\left ( { k } \right )=\frac { 1 } { \left ( { k-1 } \right ) ^ { 2 } }\left ( { k-\frac { 1 } { k }-2lnk } \right ) ， 设 u(k)=k−1k−2lnku\left ( { k } \right )=k-\frac { 1 } { k }-2lnk ，则 u′(k)=1+1k2−2k>2k−2k=0u'\left ( { k } \right )=1+\frac { 1 } { k ^ { 2 } }-\frac { 2 } { k }>\frac { 2 } { k }-\frac { 2 } { k }=0 ，所以 u(k)>u(1)=0u\left ( { k } \right )>u\left ( { 1 } \right )=0 ， φ′(k)>0φ'\left ( { k } \right )>0 ， 故 φ(k)φ\left ( { k } \right ) 在 (1,+∞)\left ( { 1,+∞ } \right ) 上为增函数，故 φ(k)>φ(1m)φ\left ( { k } \right )>φ\left ( { \frac { 1 } { m } } \right ) ， 所以 (k+1)lnkk−1+(m−13)(m2−m+12)72>(m+1)lnmm−1+(m−13)(m2−m+12)72\frac { \left ( { k+1 } \right )lnk } { k-1 }+\frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72 }>\frac { \left ( { m+1 } \right )lnm } { m-1 }+\frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72 } ， 记 ω(m)=lnm+(m−1)(m−13)(m2−m+12)72(m+1),0<m<1ω\left ( { m } \right )=lnm+\frac { \left ( { m-1 } \right )\left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72\left ( { m+1 } \right ) },0 < m < 1 ， 则 ω′(m)=(m−1)2(3m3−20m2−49m+72)72m(m+1)2>(m−1)2(3m3+3)72m(m+1)2>0ω'\left ( { m } \right )=\frac { \left ( { m-1 } \right ) ^ { 2 } \left ( { 3m ^ { 3 } -20m ^ { 2 } -49m+72 } \right ) } { 72m\left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } }>\frac { \left ( { m-1 } \right ) ^ { 2 } \left ( { 3m ^ { 3 } +3 } \right ) } { 72m\left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } }>0 ， 所以 ω(m)ω\left ( { m } \right ) 在 (0,1)\left ( { 0,1 } \right ) 为增函数，故 ω(m)<ω(1)=0ω\left ( { m } \right ) < ω\left ( { 1 } \right )=0 ， 故 lnm+(m−1)(m−13)(m2−m+12)72(m+1)<0lnm+\frac { \left ( { m-1 } \right )\left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72\left ( { m+1 } \right ) } < 0 即 (m+1)lnmm−1+(m−13)(m2−m+12)72>0\frac { \left ( { m+1 } \right )lnm } { m-1 }+\frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72 }>0 ， 故原不等式得证： 【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） k=x3x1k=\frac { x_{ 3 } } { x_{ 1 } } ， m=ae<1m=\frac { a } { e } < 1 ，则题设不等式可转化为 t1+t3−2−2m<(m−13)(m2−m+12)36m(t1+t3)t_{ 1 } +t_{ 3 } -2-\frac { 2 } { m } < \frac { \left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 36m\left ( { t_{ 1 } +t_{ 3 } } \right ) } ，结合零点满足的方程进一步转化为 lnm+(m−1)(m−13)(m2−m+12)72(m+1)<0lnm+\frac { \left ( { m-1 } \right )\left ( { m-13 } \right )\left ( { m ^ { 2 } -m+12 } \right ) } { 72\left ( { m+1 } \right ) } < 0 ，利用导数可证该不等式成立.
（1） f′(x)=−e2x2+1x=2x−e2x2f'\left ( { x } \right )=-\frac { { e } } { 2x ^ { 2 } }+\frac { 1 } { x }=\frac { 2x-{ e } } { 2x ^ { 2 } } ， 当 0<x<e20 < x < \frac { { e } } { 2 } ， f′(x)<0f'\left ( { x } \right ) < 0 ；当 x>e2x>\frac { { e } } { 2 } ， f′(x)>0f'\left ( { x } \right )>0 ， 故 f(x)f\left ( { x } \right ) 的减区间为 (0,e2)\left ( { 0,\frac { e } { 2 } } \right ) ， f(x)f\left ( { x } \right ) 的增区间为 (e2,+∞)\left ( { \frac { e } { 2 },+∞ } \right ) .
（2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】
思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.

一句话总结

求导就靠三样东西：基本公式、加减乘除法则、链式法则。四类基本函数的导数全部能由定义推出，理解了推导，公式就再也忘不掉了。

— Y. · 2026-09-27
上一篇第 2 讲 · 导数的几何意义——切线斜率下一篇第 4 讲 · 导数的运算法则——四则运算与复合函数
基本初等函数的导数公式——一套公式走天下 · 函数与导数第3讲