第3讲 基本初等函数的导数公式——一套公式走天下

基本公式表

函数	导数
$f(x) = C$（常数）	$f'(x) = 0$
$f(x) = x^n$	$f'(x) = nx^{n-1}$
$f(x) = \sin x$	$f'(x) = \cos x$
$f(x) = \cos x$	$f'(x) = -\sin x$
$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$
$f(x) = a^x$	$f'(x) = a^x \ln a$
$f(x) = \ln x$	$f'(x) = \dfrac{1}{x}$
$f(x) = \log_a x$	$f'(x) = \dfrac{1}{x\ln a}$

示意图

重点公式的推导

幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$

这是最常用的公式。用导数定义推导：

$$(x^n)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}$$

展开 $(x+\Delta x)^n$（二项式定理），减去 $x^n$，除以 $\Delta x$，令 $\Delta x \to 0$，只剩下 $nx^{n-1}$。

指数函数：$(e^x)' = e^x$

这是 $e$ 这个数字最重要的性质之一——$e^x$ 的导数是它本身。

定义推导：$(e^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$。

而 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1$（这是 $e$ 的定义之一）。

所以 $(e^x)' = e^x$。

对于一般的指数函数 $a^x$，可以写成 $e^{x\ln a}$，用链式法则：$(a^x)' = a^x \ln a$。

对数函数：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$

利用反函数的导数公式：如果 $y = \ln x$，则 $x = e^y$。

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{dx/dy} = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x}$。

三角函数：$(\sin x)' = \cos x$

$$(\sin x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x}$$

用和差角公式展开分子，化简后用到一个重要极限 $\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1$。

最终得到 $(\sin x)' = \cos x$。

类似地，$(\cos x)' = -\sin x$。

记忆技巧

幂函数：$x$ 的 $n$ 次方的导数是 $n$ 乘 $x$ 的 $n-1$ 次方——"指数下来，幂减一"。

指数函数：$e^x$ 导数是自身，$a^x$ 导数是自身乘 $\ln a$——"底不同，多一个 ln"。

对数函数：$\ln x$ 导数是 $\dfrac{1}{x}$，$\log_a x$ 导数是 $\dfrac{1}{x\ln a}$——"对数导数带 ln"。

三角函数：sin 导数是 cos，cos 导数是负的 sin——"sin 变 cos，cos 变负 sin"。

复合函数的求导——链式法则

一个函数嵌套在另一个函数里面：$y = f(g(x))$。

链式法则：

$$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

即"外层函数的导数，乘以内层函数的导数"。

例子：$(\sin x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x$。

外层是 $\sin u$，内层是 $u = x^2$。外层导数是 $\cos u$，内层导数是 $2x$。相乘得 $\cos(x^2) \cdot 2x$。

链式法则是导数运算中最核心的法则，几乎所有复杂函数的求导都用得到。

在高中数学体系里的位置

基本导数公式是后续所有内容的基础。后面我们要用导数研究函数的单调性、极值、最值，前提是必须先会求导。

高考中，求导是工具而不是目的——不会求导，后面全白搭。所以求导公式必须滚瓜烂熟，看到任何函数都能立刻写出导数。

思考与拓展

1. 求下列函数的导数：$y = 3x^4 - 2x^3 + x - 5$。
2. 求 $y = e^{2x}$ 的导数。（提示：链式法则）
3. 求 $y = \ln(\sin x)$ 的导数。
4. 你能从 $(e^x)' = e^x$ 推出 $(a^x)' = a^x \ln a$ 吗？（提示：把 $a^x$ 写成 $e^{x\ln a}$）

一句话总结

求导就靠三样东西：基本公式、加减乘除法则、链式法则。看到复合函数就往里拆，一层一层求。