中点弦与点差法——设而不求的妙用

一个经典问题

中点弦问题的提法非常固定：给你一个点，问以它为弦中点的弦在哪里。

椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的一条弦被点 $M(2, 3)$ 平分，求这条弦所在的直线方程。

"被点 $M$ 平分"这五个字，翻译成数学语言就是"$M$ 是这条弦的中点"。弦的两个端点在椭圆上，中点已经被点死了，那么这条弦就只能有一个方向——斜率是唯一的，我们要求的就是它。

这类题在高考里反复出现，考法看似变来变去，内核只有一句：已知中点的坐标，反求弦的方向。 下面先老老实实做一遍，再介绍那个能省两页草稿纸的方法。

常规解法：设而不求 + 韦达定理

所谓"设而不求"，就是设出交点和直线，但从不真正解出这些点，只借韦达定理拿它们的和与积。

按这个思路，先把直线设出来。弦过 $M(2, 3)$，设斜率为 $k$，则直线方程是

$$y - 3 = k(x - 2) \qquad (1)$$

它和椭圆的两个交点记为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。因为 $M$ 是中点，所以

$$x_1 + x_2 = 4 \qquad (2)$$

接下来把直线代入椭圆。由 $(1)$ 得 $y = kx + 3 - 2k$，代入 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$：

$$\frac{x^2}{25} + \frac{(kx + 3 - 2k)^2}{16} = 1$$

两边同乘 $400$，消去分母：

$$16x^2 + 25(kx + 3 - 2k)^2 = 400$$

展开整理，得到关于 $x$ 的一元二次方程：

$$(16 + 25k^2)x^2 + 50k(3 - 2k)x + 25(3-2k)^2 - 400 = 0 \qquad (3)$$

它的两根就是 $x_1$、$x_2$。用韦达定理：

$$x_1 + x_2 = -\frac{50k(3-2k)}{16 + 25k^2}$$

把它和 $(2)$ 对起来：

$$-\frac{50k(3-2k)}{16 + 25k^2} = 4$$

去分母：

$$-50k(3 - 2k) = 4(16 + 25k^2)$$

左边展开是 $-150k + 100k^2$，右边是 $64 + 100k^2$。注意 $100k^2$ 两边抵消了——这正是中点条件的威力：它把二次项一刀削掉，剩下来的是一个一次方程：

$$-150k = 64 \qquad\Rightarrow\qquad k = -\frac{32}{75}$$

所以弦所在的直线是 $y - 3 = -\dfrac{32}{75}(x - 2)$。

答案没错，但这条路不划算。 刚才做了多少事：设直线、代入、展开平方、整理、写韦达、解方程——中间任何一步系数抄错，答案就废了。而且这只是第一问，问弦长、面积时还得回到 $(3)$ 去算判别式和两根之差。有没有办法跳过这些运算、直接得到 $k$？有，就是点差法。

点差法：两个方程相减

点差法的全部动作只有两个：把两个端点分别代入曲线方程，然后两式相减。

它名字里的"点"指的是把点的坐标代进去，"差"指的是两式相减。所以"点差法"又叫"代点作差法"。巧妙之处在于，相减之后会出现平方差 $(x_1^2 - x_2^2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$，一旦分解开，"和"就变成了中点的两倍、"差之比"就变成了斜率——两个我们已知或想求的量，同时冒出来。

下面把推导写全。设弦的两个端点为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，都满足椭圆方程：

$$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \qquad (1)$$ $$\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \qquad (2)$$

$(1) - (2)$：

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$$

用平方差公式分解：

$$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2} = 0$$

两边同时除以 $(x_1 - x_2)$（弦不竖直时 $x_1 \neq x_2$）：

$$\frac{x_1 + x_2}{a^2} + \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\cdot\frac{y_1 + y_2}{b^2} = 0$$

现在认三个东西：

• $\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ 就是弦 $AB$ 的斜率 $k$；
• $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = x_0$，是中点的横坐标；
• $\dfrac{y_1 + y_2}{2} = y_0$，是中点的纵坐标。

三个记号一代进去，方程瞬间瘦成一行。 因为 $x_1 + x_2 = 2x_0$、$y_1 + y_2 = 2y_0$，原式变成

$$\frac{2x_0}{a^2} + \frac{2ky_0}{b^2} = 0$$

约去 $2$，解出 $k$：

$$k = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$$

这就是点差法的核心公式。 它把一个"求直线方程"的解析几何问题，压缩成了一次代数恒等变形——不联立、不解二次方程、不用判别式（判别式另有用途，后面单说），斜率直接落地。

中点弦示意图

三种曲线，一个套路

点差法通吃三类圆锥曲线，只有符号和系数在变，骨架一模一样。 下面把双曲线和抛物线也各推一遍，你看完就会发现它们是同一个动作。

双曲线的点差公式

双曲线只是把椭圆里的加号换成减号，所以最后符号翻一次。 设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 在 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上，两式相减：

$$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2} - \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2} = 0$$

除以 $(x_1 - x_2)$，再把中点与斜率代进去：

$$\frac{2x_0}{a^2} - k\cdot\frac{2y_0}{b^2} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad k = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$$

和椭圆只差一个负号——椭圆是减号（$k = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$），双曲线是加号。别记反，记反了整个题目从头错到尾。

抛物线的点差公式

抛物线的方程里只出现一个平方，所以相减之后一次就能约掉。 设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 在 $y^2 = 2px$ 上：

$$y_1^2 = 2px_1 \qquad (1)$$ $$y_2^2 = 2px_2 \qquad (2)$$

$(1) - (2)$：

$$y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)$$

左边用平方差：

$$(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2p(x_1 - x_2)$$

两边除以 $(x_1 - x_2)$：

$$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{2p}{y_1 + y_2} = \frac{2p}{2y_0} = \frac{p}{y_0}$$

所以抛物线是 $k = \dfrac{p}{y_0}$。注意这里是 $p/y_0$ 而不是 $2p/y_0$，因为 $y_1 + y_2 = 2y_0$ 被约掉了一个 $2$——这一步是抛物线点差法唯一容易翻车的地方。

三式对照

把三条公式并排写出来，规律一眼可见。

曲线	方程	点差公式	中点弦存在的条件
椭圆	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$	$\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2} < 1$（中点在内部）
双曲线	$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$k = \dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$	$\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2} > 1$（中点在两支外侧）
抛物线	$y^2 = 2px$	$k = \dfrac{p}{y_0}$	$y_0^2 < 2p x_0$（中点在抛物线内部）

三式形式几乎一样，只差一个正负号和系数里的 $a^2$、$b^2$。 最右一列很关键：点差法只告诉你"斜率应该是多少"，至于这条弦是否真的存在，得靠这一列去卡——下面专门用一个算例讲。

三个典型算例

公式记得再熟，最后都要落到"会不会算、算完敢不敢验"上。 下面三个例子分别对应中点弦题目的三种常见形态：椭圆直接求、双曲线求、以及"这条弦到底存不存在"。

算例一：椭圆的中点弦

题目： 椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的一条弦被点 $M(2, 3)$ 平分，求弦所在直线方程。

解析： 读出参数 $a^2 = 25$、$b^2 = 16$，中点 $x_0 = 2$、$y_0 = 3$，直接套椭圆点差公式：

$$k = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{16 \times 2}{25 \times 3} = -\frac{32}{75}$$

弦所在直线：

$$y - 3 = -\frac{32}{75}(x - 2)$$

即 $y = -\dfrac{32}{75}x + \dfrac{289}{75}$。

验算： 先把 $M$ 代入椭圆看是否在内部：$\dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{289}{400} < 1$，$M$ 确实在椭圆内部，弦一定存在。再把直线与椭圆联立（把 $y = -\dfrac{32}{75}x + \dfrac{289}{75}$ 代进去，两边乘 $90000$ 化为整系数）：

$$4624x^2 - 18496x - 6479 = 0$$

两根之和 $= \dfrac{18496}{4624} = 4$，正好等于 $2x_0 = 4$，说明中点横坐标对上；判别式

$$\Delta = 18496^2 + 4\times4624\times6479 = 461\,937\,600 > 0$$

说明确实有两个交点。✓ 答案 $k = -\dfrac{32}{75}$。

算例二：双曲线的中点弦

题目： 双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的一条弦被点 $M(6, 2)$ 平分，求弦所在直线方程。

解析： 这里 $a^2 = 9$、$b^2 = 4$，中点是 $x_0 = 6$、$y_0 = 2$。套双曲线点差公式（注意是正号）：

$$k = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = \frac{4 \times 6}{9 \times 2} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$

弦所在直线：

$$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 6) \qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{4}{3}x - 6$$

验算： 先看 $M$ 是否满足存在条件：$\dfrac{36}{9} - \dfrac{4}{4} = 3 > 1$，符合。再联立：把 $y = \dfrac{4}{3}x - 6$ 代入 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$，化简得

$$x^2 - 12x + 30 = 0$$

两根之和 $= 12 = 2x_0$，中点横坐标对上；判别式 $\Delta = 144 - 120 = 24 > 0$，两交点存在，且两根 $x = 6 \pm \sqrt{6}$ 都是正数，说明两个交点落在同一支上（双曲线一支上的点横坐标同号）。对应的 $y = 2 \pm \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$，两根之和 $= 4 = 2y_0$，纵坐标也对上。✓ 答案 $k = \dfrac{4}{3}$。

算例三：存在性判断——算出的直线可能是"空的"

题目： 双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 中，以点 $M(3, 2)$ 为中点的弦是否存在？

解析： 照套公式不会报错，照样能算出一个斜率：

$$k = \frac{4 \times 3}{9 \times 2} = \frac{2}{3}$$

直线方程是 $y - 2 = \dfrac{2}{3}(x - 3)$，即 $y = \dfrac{2}{3}x$。别急着写"答：$y = \dfrac{2}{3}x$"。

盯住 $\dfrac{2}{3}$ 这个数：双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的渐近线正是 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\dfrac{2}{3}x$。斜率恰好等于渐近线斜率，说明这条直线平行于渐近线。把它代入双曲线验证：

$$\frac{x^2}{9} - \frac{\left(\frac{2}{3}x\right)^2}{4} = \frac{x^2}{9} - \frac{x^2}{9} = 0 \neq 1$$

左边恒等于 0，永远等不到 1，方程无解。 这条直线和双曲线没有任何交点，自然谈不上什么"弦"。再回头看存在条件：$\dfrac{9}{9} - \dfrac{4}{4} = 0 < 1$，条件不满足，本来就不该有弦。

结论：这样的弦不存在。 点差法给出的是"如果存在，斜率应该是 $\dfrac{2}{3}$"，它不保证存在；真正拍板的是存在条件或判别式。

最容易踩的坑：忘记判别式

上面算例三暴露了中点弦问题最大的陷阱：点差法只算斜率，不管生死。

很多学生看到"中点弦"三个字，条件反射地套 $k = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$，算出一个漂漂亮亮的分数就往上写，结果答案被判"该弦不存在"——因为题目给的中点根本不在曲线能容下弦的区域里。公式永远能算出数，但直线不一定真的切到曲线。

判别"生死"有两道关口，做题时任选一道都行：

第一道，先看中点落在哪。 这就是前面那张表最右一列：

• 椭圆：中点在内部 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2} < 1$，必有唯一中点弦；在椭圆上或外部，都不存在；
• 双曲线：中点在两支外侧 $\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2} > 1$ 才存在；等于或小于 1 都不行；
• 抛物线：中点在抛物线内部 $y_0^2 < 2px_0$ 才存在。

第二道，联立之后看判别式 $\Delta$。 把点差法算出的直线代回曲线，得到一个一元二次方程，$\Delta > 0$ 才是真的两个交点，$\Delta = 0$ 是相切（只有一点，不是弦），$\Delta < 0$ 则根本没有交点。举个反例：对椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 和椭圆外的点 $M(4,3)$，点差法会"忠实地"给出 $k = -\dfrac{16\times4}{25\times3} = -\dfrac{64}{75}$，但把这个点和椭圆一验：$\dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{16} = \dfrac{481}{400} > 1$，$M$ 在椭圆外，不用联立就知道不会有以它为中点的弦；硬联立的话，判别式是负的。

一句话记住：先判中点位置，再算斜率，最后（题目要求时）补一个判别式。 顺序反了、或者漏掉第一步，就是那个"看起来全对、实际零分"的经典错误。

进阶一步：中点轨迹

点差法还能反过来用——不求斜率，求所有中点的轨迹。

求过点 $P(4, 0)$ 的直线与椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 相交所得弦的中点轨迹方程。

设弦的中点为 $M(x_0, y_0)$。一方面，弦是过 $P$ 的直线截椭圆所得，所以 $M$ 与 $P$ 在同一条直线上，斜率是 $\dfrac{y_0 - 0}{x_0 - 4}$；另一方面，$M$ 是弦的中点，弦的斜率由点差法给出，是 $-\dfrac{16x_0}{25y_0}$。两条路算的是同一根弦的斜率，必须相等：

$$\frac{y_0}{x_0 - 4} = -\frac{16x_0}{25y_0}$$

整理得 $25y_0^2 = -16x_0(x_0 - 4)$，即

$$16x_0^2 - 64x_0 + 25y_0^2 = 0$$

这就是中点轨迹方程——只不过它是一段椭圆内部的弧（因为过 $P$ 的直线得真的和椭圆相交，对应的中点只落在有限的一段上）。这类题的关键就是把"同一个斜率"用两种方式表达，再令它们相等。

在高中数学体系里的位置

点差法是圆锥曲线里"技巧性"最强、也最容易被投机使用的一块——会用的学生三十秒出答案，不会用的学生联立三页草稿还容易算错。

思想延伸： 点差法值钱的地方不是公式本身，而是它演示的通用思路——当"和"与"差"同时出现时，把两个方程相减往往比相加更有用。椭圆、双曲线、抛物线乃至圆都是同一个骨架。

运算练兵场： 它逼你先看清题目给的是"中点"（和）还是"交点"（差），再决定用点差法还是联立韦达，答完还要回头检查中点位置、必要时补判别式——正好把解析几何的严谨习惯练扎实。

综合题常客： 高考里点差法通常不单独出现，而是和这些拼在一起：求弦所在直线方程（选择填空直接套）、求中点轨迹方程（解答题第二问）、证明某直线过定点（先用点差法定斜率，再用几何条件定位置）、求弦长或三角形面积（点差法给斜率，弦长公式接着算）。

判断用哪个方法的经验法则： 题目出现"中点""平分""斜率之积为定值"这类字眼，优先想点差法；题目要给弦长、面积、交点个数、交点坐标，用联立加韦达。两者不是对立，而是分工。

思考与拓展

1. 双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 中，以点 $M(6, 2)$ 为中点的弦所在直线，被双曲线截得的弦长是多少？（提示：先点差法求斜率，再用弦长公式）
2. 抛物线 $y^2 = 8x$ 中，以点 $M(3, 4)$ 为中点的弦的方程是什么？验证一下这条弦是否真的存在；再试试 $M(2, 4)$，算出来的直线又是什么特殊位置？
3. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 中，所有斜率为 $k$ 的平行弦，它们的中点轨迹是什么曲线？（提示：用点差法写出 $x_0$、$y_0$ 的关系式，看看是不是一条过中心的直线）
4. 把点差法推广到圆 $x^2 + y^2 = r^2$：以 $M(x_0, y_0)$ 为中点的弦，斜率是多少？结果和"圆的垂径定理（弦的垂线过圆心）"对得上吗？

一句话总结

点差法就是"两个方程相减 + 平方差公式"——把求斜率的问题变成一次恒等变形，联立和韦达都用不上；但公式只给斜率，不给存在性，写完永远要回一句：这个中点，真的能容下一条弦吗？