直线与圆锥曲线——联立、判别式与韦达定理

从一个问题开始

平面上给一条直线和一个椭圆，它们最多能碰几个点？ 凭直觉你会说"两个"——因为椭圆是二次的、直线是一次的，解方程组时"二次配一次"，最高次是 2，至多两个实根，也就至多两个交点。这个直觉是对的，而且它背后藏着这一讲全部的方法。

但我们想要的往往不只是"碰了几个点"。真正做题时会追问三件事：碰到了几个点（位置关系）？碰出来的那段线段有多长（弦长）？这段线段的中点落在哪（中点弦）？这三个问题看起来是三件事，其实用的是同一套工具。把这一套学会，圆锥曲线里绝大多数"计算大题"就都有了骨架。

核心概念：联立

所有交点问题的起手式都一样——把两个方程联立起来。

设直线为 $y = kx + b$（斜率存在时常用这个形式；斜率可能不存在时改用 $x = my + n$），圆锥曲线是椭圆、双曲线或抛物线的标准方程。把直线的表达式代入曲线方程，消掉一个未知数，就得到一个关于剩下那个字母的一元二次方程。

关键在于：这一步之后，几何问题就变成了代数问题。 有没有交点、交点怎么分布、交点连成的弦有多长，全都由这个二次方程的系数决定，用不着真把点画出来。

这个二次方程能提供三条信息：

• 它的判别式 $\Delta$，决定交点的个数——也就是直线与曲线的位置关系；
• 它的两根之和、两根之积（韦达定理），让你不求根就能处理关于交点的各种代数式；
• 由韦达定理进一步推出弦长公式，直接算出两点间的距离。

这三样，就是解析几何的"三件套"。说起来简单，难的是熟练——高考里这道题的分，多半不是"想不出来"，而是"算错了"。

示意图

深入理解

细节一：代入消元，结果一定是二次方程

把直线代进曲线，得到的必然是次数不超过 2 的方程——这一步可以提前预判。

直线是一次式，而圆锥曲线的标准方程里每个变量最高次是 2（比如椭圆的 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$）。把 $y=kx+b$ 代进去，每一项展开后虽然复杂，但整体仍是关于 $x$ 的二次式。所以设结果为

$$Ax^2 + Bx + C = 0$$

后面的一切讨论，都围着这三个系数 $A,B,C$ 转。

这里有一个必须单独讨论的例外：对抛物线，当你用 $y=kx+b$ 代入 $y^2=2px$ 时，若 $k \ne 0$ 得到二次方程；可一旦直线平行于对称轴，代入后 $y^2$ 项消失，得到的是一次方程，只有一个解。这时直线与抛物线交于一点，却不是相切——它只是从上往下"穿过"了曲线。学生最容易在这里翻车：一看到"一个交点"就条件反射写 $\Delta=0$，判成相切，错。记住这条：抛物线只有一个交点，可能是相切（$\Delta=0$），也可能是直线平行于对称轴（方程退化成一次），要看方程降没降次。

细节二：判别式——相交、相切、相离

交点个数的问题，本质就是判别式正负的问题。

对二次方程 $Ax^2+Bx+C=0$，判别式

$$\Delta = B^2 - 4AC$$

三种情形对应三种位置关系：

• $\Delta > 0$：两个不同实根，直线与曲线相交，有两个交点，这两点连成的线段叫弦；
• $\Delta = 0$：两个相等实根，直线与曲线相切，只有一个公共点，叫切点；
• $\Delta < 0$：没有实根，直线与曲线相离，没有交点。

判别式还有第二个身份——"存在性"的守门人。 做"是否存在这样的直线"这类题时，我们常先假设直线存在、把参数解出来，最后必须回头验一次 $\Delta > 0$。如果解出的参数让 $\Delta \le 0$，那这条直线即使在代数上"算得出来"，几何上也不成立，答案要写"不存在"。这一步漏掉，是圆锥曲线大题最常见的失分点。

细节三：弦长公式的完整推导

弦长公式不是背来的，两步就能推出来。

设直线 $y=kx+b$ 与曲线交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 两点。两点间距离公式是

$$|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$$

因为 A、B 都在直线 $y=kx+b$ 上，所以 $y_1-y_2 = k(x_1-x_2)$。把它代进上式：

$$|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + k^2(x_1-x_2)^2} = \sqrt{1+k^2}\,\sqrt{(x_1-x_2)^2}$$

也就是

$$|AB| = \sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|$$

再进一步，把 $(x_1-x_2)^2$ 展开成 $(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$，就能用韦达定理：

$$|AB| = \sqrt{1+k^2}\,\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}$$

这就是弦长公式。一句话记住它：弦长 = 斜率因子 $\sqrt{1+k^2}$ × 两根之差的绝对值，而两根之差用韦达定理算，全程不碰开根号解方程。

如果直线写成 $x=my+n$ 的形式（斜率不存在、或斜率很麻烦时用），对称地有

$$|AB| = \sqrt{1+m^2}\,|y_1-y_2| = \sqrt{1+m^2}\,\sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$$

两条公式其实是一条：谁是被消剩下的那个变量，就用谁的两根差。

细节四：韦达定理在弦问题里怎么干活

弦问题的本质是"关于两交点坐标的对称式"，而对称式正好是韦达定理的专场。

设联立后得到的二次方程为 $ax^2+bx+c=0$，两根 $x_1,x_2$ 就是两交点的横坐标，则

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

一条判断准则：凡是要的量能写成 $x_1+x_2$ 与 $x_1x_2$ 的组合，就能用韦达定理；写不成的（比如单独要 $x_1$ 的值），才只好回去解方程。 幸运的是，弦长、中点坐标、中点弦、三角形面积、"$x_1 x_2$ 是否为定值"这类高频问题，全都是对称式，全都能用韦达定理。

举个最小例子感受一下：要求两交点的中点横坐标 $\bar{x} = \dfrac{x_1+x_2}{2} = -\dfrac{b}{2a}$，一步到位，根本不用知道 $x_1,x_2$ 各是多少。这就是"设而不求"的威力——后面还会专门说。

三个经典算例

算例一（相交求弦长）

直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 A、B 两点，求弦长 $|AB|$。

第一步，联立消元。 把 $y=x+1$ 代入椭圆方程：

$$\frac{x^2}{4} + (x+1)^2 = 1$$

两边同乘 4，整理：

$$x^2 + 4(x+1)^2 = 4 \;\Rightarrow\; 5x^2 + 8x = 0$$

第二步，看判别式。 这里 $A=5,\ B=8,\ C=0$，$\Delta = 8^2 - 0 = 64 > 0$，确有两个交点——或者更直接，方程能因式分解成 $x(5x+8)=0$，两个实根立刻显现。

第三步，韦达定理。 由 $5x^2+8x=0$ 得

$$x_1 + x_2 = -\frac{8}{5}, \qquad x_1 x_2 = 0$$

第四步，套弦长公式。 直线斜率 $k=1$，所以

$$|AB| = \sqrt{1+1^2}\,\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$$

验算一下：两根是 $0$ 与 $-\dfrac{8}{5}$，对应点 $A(0,1)$、$B\!\left(-\dfrac{8}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)$。两点距离

$$|AB| = \sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2} = \frac{8}{5}\sqrt{2}$$

和公式结果一致。注意：全程我们没解方程，$x_1,x_2$ 是多少是最后顺带看出来的。

算例二（相切求参数）

直线 $y = x + m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 相切，求 $m$ 的值及切点坐标。

相切，就是判别式等于零——参数问题变成解一个方程。

代入 $y = x+m$，两边乘 4：

$$x^2 + 4(x+m)^2 = 4 \;\Rightarrow\; 5x^2 + 8mx + (4m^2 - 4) = 0$$

这里 $A=5,\ B=8m,\ C=4m^2-4$。相切要求 $\Delta = 0$：

$$\Delta = (8m)^2 - 4\cdot 5\cdot (4m^2-4) = 64m^2 - 80m^2 + 80 = 16(5 - m^2)$$

令 $\Delta = 0$，得 $m^2 = 5$，所以

$$m = \pm\sqrt{5}$$

两条切线：$y = x + \sqrt{5}$ 与 $y = x - \sqrt{5}$。

求切点。以 $m=\sqrt{5}$ 为例，方程变成 $5x^2 + 8\sqrt{5}\,x + 16 = 0$，重根

$$x = -\frac{8\sqrt{5}}{2\cdot 5} = -\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

代回 $y = x+\sqrt{5}$，得 $y = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。代回椭圆验证：

$$\frac{\left(-\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$$

正好落在椭圆上。$m=-\sqrt{5}$ 时对称地得切点 $\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$。

最容易被漏的是那个 $\pm$。 $m$ 有两个值、对应两条切线，只写一条就丢分。这类题的另一个习惯动作是：把切点代回曲线验一遍，代进去刚好等于 1，心里才踏实。

算例三（弦中点问题）

椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的一条弦 AB 的中点是 $M(2,1)$，求弦 AB 所在直线的斜率。

中点给的是 $x_1+x_2$ 和 $y_1+y_2$，这正是韦达定理能直接对话的量。

设弦 AB 所在直线斜率为 $k$，因为它过 $M(2,1)$，方程可写成

$$y = k(x-2) + 1$$

代入椭圆（两边乘 16 得 $x^2 + 4y^2 = 16$）：

$$x^2 + 4\big[k(x-2)+1\big]^2 = 16$$

展开整理成关于 $x$ 的二次方程：

$$(1+4k^2)x^2 + 8k(1-2k)x + 4(1-2k)^2 - 16 = 0$$

关键一步：韦达定理说两根之和等于 $-\dfrac{b}{a}$，而这两根就是 A、B 的横坐标，它们的平均数正是中点的横坐标 2。

设两根为 $x_1,x_2$，则

$$\frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{8k(1-2k)}{2(1+4k^2)} = \frac{4k(2k-1)}{1+4k^2} = 2$$

去分母：$4k(2k-1) = 2(1+4k^2)$，展开得 $8k^2 - 4k = 2 + 8k^2$，故 $-4k = 2$，于是

$$k = -\frac{1}{2}$$

验证：直线 $y = -\dfrac{1}{2}(x-2)+1 = -\dfrac{1}{2}x + 2$，与椭圆联立得 $2x^2 - 8x = 0$，即 $x(x-4)=0$，两根 $0$ 与 $4$，对应点 $(0,2)$ 和 $(4,0)$，中点恰是 $(2,1)$，斜率 $= \dfrac{0-2}{4-0} = -\dfrac{1}{2}$。完全吻合。

这里留一个预告：中点弦问题还有一条"点差法"捷径，两步就能得到斜率 $k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$，本例里直接就是 $-\dfrac{4\cdot 2}{16\cdot 1} = -\dfrac{1}{2}$。点差法下一讲专门讲，但它算出的答案必须和韦达定理一致——这就是最省事的自检。

"设而不求"的思想

这四个字是解析几何的立身之本。

三个算例看下来，你会发现一个共同点：从头到尾，我们没把交点坐标"求出来"，只用到了它们的和与积。 这就是"设而不求"——设出交点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，却不真的解出 $x_1,x_2$ 的具体值，而用韦达定理间接处理。

为什么要"不求"？因为直接解根要开根号，还要判断两个根的大小、正负，计算量大、出错率高；而韦达定理只用系数比，全是四则运算。 一道大题省下的不只是时间，还有正确率。

什么时候必须求根？只有当题目点名要具体坐标的时候——比如算例二求切点，或者验证某个点是否落在某条弦上。绝大多数圆锥曲线大题，走的都是"设而不求"这条路。

在高中数学体系里的位置

直线与圆锥曲线的交点问题，是整个解析几何的"计算核心"。

前面几讲学的是圆锥曲线的性质——那是"知识"；这一讲是"技能"。高考中的圆锥曲线大题，绝大部分分值要靠这套"联立—韦达—弦长"的计算技能拿到。它同时是直线方程、二次方程、判别式这些前面板块的总汇合点：你在这里第一次真切感受到，代数的二次方程和几何的直线与曲线，说的是同一种语言。

从难度说，这套方法的逻辑很清楚——就四步，但计算量是高中数学里最大的之一，一道大题算满几页纸是常事，一步错、全盘错。所以学这部分，关键不在"想明白"，而在练成熟：看到联立就条件反射写韦达，看到弦就立刻套公式。这份手感，只能靠反复做题磨出来。

思考与拓展

1. 直线 $y = 2x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 交于 A、B 两点，求弦长 $|AB|$。（别真解出交点，只用韦达定理）
2. 抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点弦长是 8，求这条弦所在直线的方程。（提示：设直线 $y=k(x-1)$，用 $y$ 的两根差算）
3. 对抛物线，什么情况下联立后得到的是一次方程？这时"一个交点"能说成"相切"吗？为什么？
4. 你能为"设而不求"这个思想找到别的例子吗？（提示：想想二次方程根的对称多项式、向量的坐标运算）

一句话总结

直线与圆锥曲线的问题，核心就三步：联立、韦达、弦长——不求根，只用系数比，计算量减半，准确率翻倍。判别式管"有几个点"，韦达定理管"点之间的关系"，弦长公式把这两样打包成可以直接套的结果。