圆——到定点定距的点的轨迹

定义先于方程

圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

那个定点叫圆心，定长叫半径。这句话是圆的唯一定义，其他一切性质都从它推导。

现在把这句话翻译成代数。设圆心在 $C(a, b)$，半径为 $r$，点 $P(x, y)$ 在圆上当且仅当：

$|CP| = r$

用距离公式展开：

$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$

两边平方，去掉根号：

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

这就是圆的标准方程。括号里那两个减号是坑：圆心在 $(a,b)$，方程里就是 $(x-a)$、$(y-b)$，正负要对着圆心的坐标走。有人把"圆心 $(-2, 3)$"代成 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = r^2$ 是对的，但写成 $(x-2)$ 就错了。

一般方程：配方才能读

把标准方程展开：

$x^2 + y^2 - 2ax - 4by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$

令 $D = -2a$、$E = -4b$、$F = a^2 + b^2 - r^2$，得到一般方程：

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

注意几个特征，用它们可以在考场上第一时间认出圆：

1. $x^2$ 与 $y^2$ 的系数相同（都是 1，或同乘一个非零常数）
2. 没有 $xy$ 项
3. 只有二次项和一次项，没有更高次

一般方程本身看不出圆心和半径，必须配方：

$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$

所以圆心是 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$，半径 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$。

注意分母的 4。 配方时 $Dx = 2 \cdot \dfrac{D}{2} \cdot x$，$y$ 同理，常数项往右搬，右边是 $\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F$，通分就是 $\dfrac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$。漏掉那个 4，半径就差一倍。

能不能构成圆，看右边：

• $D^2 + E^2 - 4F > 0$：是圆，半径 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$
• $= 0$：点圆——缩成一个点，圆心处
• $< 0$：虚圆——平面上没有任何点满足，图形不存在

高考填空题爱考这个：给一个一般方程，问它是否表示圆。别急着配方，先算 $D^2 + E^2 - 4F$ 的符号。

直线与圆：三种位置关系

判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的关系，有两条路。

路子一：代数法。 把直线方程代入圆方程，消去一个变量，得到一元二次方程。看判别式 $\Delta$：

• $\Delta > 0$：相交，两个交点
• $\Delta = 0$：相切，一个切点
• $\Delta < 0$：相离，没有交点

路子二：几何法。 算圆心到直线的距离 $d$，与半径 $r$ 比：

• $d < r$：相交
• $d = r$：相切
• $d > r$：相离

两条路子等价，但几何法快得多。 代数法要解二次方程，几何法只算一个距离。高考里如果只问位置关系，用几何法；如果要求交点坐标，才必须代数法。

两个必背的几何结论

解析几何里，圆有两个性质比方程还好用，高考直接考的概率极高。

一、垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

反过来用：已知弦的中点，则圆心与该中点的连线垂直于弦。

这个结论在"中点弦问题"里是核心武器。比如：

直线 $y = x + 1$ 与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 交于 $A$、$B$，求弦 $AB$ 的中点。

解法：圆心 $O(0,0)$ 与弦中点 $M$ 的连线垂直于直线。直线斜率是 1，所以 $OM$ 斜率是 $-1$。$M$ 在 $y = x+1$ 上，设 $M(t, t+1)$，则 $\dfrac{t+1}{t} = -1$，解得 $t = -\dfrac{1}{2}$，$M\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$。

全程没有解二次方程——垂径定理把联立消掉了。

二、切线垂直于过切点的半径

$k_{\text{切}} \cdot k_{\text{半径}} = -1$

这个性质给出切线的标准求法：

求过圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $(x_0, y_0)$ 的切线方程。

切线过 $(x_0, y_0)$，且与半径（斜率 $\dfrac{y_0}{x_0}$）垂直，所以切线斜率是 $-\dfrac{x_0}{y_0}$。代入点斜式：

$y - y_0 = -\frac{x_0}{y_0}(x - x_0)$

整理：

$y_0 y - y_0^2 = -x_0 x + x_0^2$

$x_0 x + y_0 y = x_0^2 + y_0^2$

因为 $(x_0, y_0)$ 在圆上，$x_0^2 + y_0^2 = r^2$，所以：

$x_0 x + y_0 y = r^2$

这个形式的漂亮之处：切点 $(x_0, y_0)$ 的两个坐标，直接"贴"到对应的 $x$、$y$ 上，右边换成 $r^2$。一条切线，十秒钟写完。 建议当成公式记住。

切线长的延伸

从圆外一点 $P$ 引两条切线，切点 $A$、$B$，则：

• $|PA| = |PB|$（切线长相等）
• $OP$ 垂直平分 $AB$
• $|PA| = \sqrt{|OP|^2 - r^2}$

第三条是勾股定理的直接结果：$OP$ 是斜边，$OA$ 是半径，$PA$ 是切线。在求切线长度、弦长、四边形周长时，这个直角三角形反复出现。

圆与圆：五种关系

两个圆 $C_1$（半径 $r_1$，圆心 $O_1$）、$C_2$（半径 $r_2$，圆心 $O_2$），设圆心距 $d = |O_1O_2|$。

关系	条件	公切线数
外离	$d > r_1 + r_2$	4
外切	$d = r_1 + r_2$	3
相交	$\vert r_1 - r_2\vert < d < r_1 + r_2$	2
内切	$d = \vert r_1 - r_2\vert$	1
内含	$d < \vert r_1 - r_2\vert$	0

记法：五个分类按 $d$ 从小到大排列，临界点是 $\vert r_1-r_2\vert$ 和 $r_1 + r_2$。相交区间的两个端点都要取严格不等号，因为等于就退化成相切了。

判断方法与直线圆一样：算圆心距 $d$，比半径。 不用解方程组。

一个高频题型：弦长

直线 $l$ 截圆得弦，弦长：

$L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

其中 $d$ 是圆心到直线的距离。这个公式来自垂径定理——弦的一半、半径、弦心距构成直角三角形。

它是"圆的弦长"问题的标准三步：

1. 算圆心到直线距离 $d$
2. 算半弦长 $\sqrt{r^2 - d^2}$
3. 乘 2

在高中数学体系里的位置

• 直线（上一讲）：本讲所有武器都是上一讲的延续——距离公式、斜率、一般式。
• 圆锥曲线（后续各讲）：圆是圆锥曲线的特例（离心率 $e = 0$）。切线、弦长、中点弦的方法全部适用，只是圆的结论最简洁、最好记。
• 立体几何：球截面是圆，本讲的弦长公式在球里有对应版本。

思考与拓展

1. 圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ 的圆心和半径分别是多少？
2. 直线 $3x + 4y - 10 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 的位置关系？若相交，求弦长。
3. 求过圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上一点 $(3, 4)$ 的切线方程。
4. 两圆 $x^2 + y^2 = 1$ 与 $(x-3)^2 + y^2 = 4$ 的位置关系？有几个公切线？

一句话总结

标准方程 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 圆心带负号才能对；一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 必须先算 $D^2+E^2-4F$ 判能否成圆再配方；直线圆关系用圆心距比半径最快；切线方程 $x_0x+y_0y=r^2$ 十秒写完；弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$。