二项式定理与求导——组合恒等式的一把快刀

一个硬算会哭的问题

已知 $\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k=2^n$（令 $x=1$ 即得）。那

$\sum_{k=0}^n k\,\mathrm{C}_n^k = \;?$

硬算？要逐项乘 $k$ 再相加，噩梦。但有一把快刀：求导。

核心技巧：对恒等式求导

二项式定理写成

$(x+1)^n=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k x^k$

两边对 $x$ 求导：

$n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^n k\,\mathrm{C}_n^k x^{k-1}$

令 $x=1$，左边 $n\cdot2^{n-1}$，右边正是 $\sum k\mathrm{C}_n^k$（注意 $k=0$ 项为 0）：

$\boxed{\sum_{k=0}^n k\,\mathrm{C}_n^k=n\cdot2^{n-1}}$

一步到位。对比硬算，这就是"用微积分打通组合"。

再试几个赋值

• 令 $x=-1$：$n\cdot0^{n-1}=\sum k\mathrm{C}_n^k(-1)^{k-1}$，即 $\sum_{k=0}^n (-1)^k k\,\mathrm{C}_n^k=0 \quad (n>1)$
• 两边再求一次导，可得 $\sum k(k-1)\mathrm{C}_n^k=n(n-1)2^{n-2}$，进而拼出 $\sum k^2\mathrm{C}_n^k=n(n+1)2^{n-2}$。

背后的思想：生成函数

把 $\sum \mathrm{C}_n^k x^k$ 看成一个"把组合数编码进多项式系数"的对象，对 $x$ 的操作（求导、赋值）就等价于对组合数的操作。这种"用函数研究计数"的思路，叫生成函数，是大学组合数学的主角之一——而它的入口，就是高中这颗二项式定理。

小结与思考

• 求和型组合恒等式，优先考虑"构造生成函数 + 求导/赋值"。
• 高中二项式定理不只是展开，它是通向生成函数的一把钥匙。

思考题：用本讲方法求 $\sum_{k=0}^n k^2\mathrm{C}_n^k$（提示：对 $(x+1)^n$ 求二阶导后再令 $x=1$，并用 $\sum k\mathrm{C}_n^k$ 的结果拼合）。