二项式定理——组合数的另一个身份

从一个小小的展开开始

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

系数 1、2、1 和 1、3、3、1——就是杨辉三角的前两行。

排成三角形：

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1

下一行的每个数，等于上一行相邻两数之和。比如第 5 行中间的 6 = 3 + 3，4 = 1 + 3。

这个规律背后有个直接的解释：展开 $(a+b)^n$ 时，每一项是从 $n$ 个 $(a+b)$ 因子里，选出若干个取 $b$、剩下的取 $a$ 得到的。

$a^3b^2$ 这一项：5 个因子里选 2 个取 $b$，共 $C_5^2 = 10$ 种选法——所以系数是 10。

二项式系数就是组合数。 这条打通了计数与代数两章。

定理本身

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$

展开写：

$$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n$$

四个特征，一眼认出二项展开：

1. 共 $n+1$ 项
2. $a$ 的指数从 $n$ 递减到 0，$b$ 的指数从 0 递增到 $n$，每项两者之和恒为 $n$
3. 系数是 $C_n^0$ 到 $C_n^n$，关于中间对称：$C_n^k = C_n^{n-k}$
4. 通项是下面这个公式

通项公式（第 $k+1$ 项）：

$$T_{k+1} = C_n^k \ a^{n-k} b^k$$

注意是 $k+1$ 项不是 $k$ 项——因为 $k$ 从 0 开始数。这个"差一"年年有人错。

三个高频考点

考点一：求某特定项

求 $(2x - 1)^6$ 展开式中 $x^3$ 的系数。

第一步：定 $k$。 通项里 $x$ 的指数是 $n - k = 6 - k$（这里 $a = 2x$）。要 $x^3$：

$$6 - k = 3 \Rightarrow k = 3$$

第二步：算这一项的完整系数。

$$T_4 = C_6^3 \cdot (2x)^3 \cdot (-1)^3$$ $$= 20 \cdot 8x^3 \cdot (-1) = -160x^3$$

所以 $x^3$ 的系数是 $-160$。

关键提醒：项的系数 ≠ 二项式系数。

• 二项式系数只是 $C_6^3 = 20$
• 项的系数要把 $(2x)^3$ 的 8 和 $(-1)^3$ 的 $-1$ 都算进去，得 $-160$

负号最容易被漏。 $(-1)^3 = -1$，奇数项为负。

考点二：求常数项

求 $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^6$ 展开式中的常数项。

通项：

$$T_{k+1} = C_6^k \cdot x^{6-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_6^k x^{6-2k}$$

要常数项，指数为 0：

$$6 - 2k = 0 \Rightarrow k = 3$$ $$T_4 = C_6^3 = 20$$

常数项思路：把通项的指数写出来，令它等于 0，反解 $k$。

考点三：系数和

令所有变量为 1：

$$(1 + 1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n$$

所有二项式系数之和 = $2^n$。

令 $a = 1, b = -1$：

$$(1 - 1)^n = 0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \cdots$$

所以奇数项系数和 = 偶数项系数和 = $2^{n-1}$。

这两个结论年年考，而且是送分题——前提是记住。

一个进阶技巧：赋值法求系数和

如果题目给的不是标准二项式，而是有系数的展开：

求 $(1 + 2x)^5$ 的各项系数和。

令 $x = 1$：

$$(1 + 2)^5 = 3^5 = 243$$

"赋值法"是求系数和的通杀技。 不管前面乘了什么系数，令变量为 1，代入即得。

更复杂的：

求 $(1 - x)^6$ 展开式中所有偶数项系数的和。

偶次项是 $x^0, x^2, x^4, x^6$ 项，也就是 $k$ 为偶数的项。用 $a=1, b=-1$：

系数和交替相减为 0，偶、奇各占一半，都是 $2^5 = 32$。

在高中数学体系里的位置

• 计数原理（上一讲）：二项式系数就是组合数，两章在这里合流。
• 数列：杨辉三角本身是数列的对象；二项式定理也可用归纳法证明（先证 $n=1$，再从 $n$ 推到 $n+1$）。
• 概率统计：$(p + q)^n$ 展开就是二项分布的全部概率公式，多项系数对应多项分布。二项式定理是概率分布的代数面孔。

思考与拓展

1. 求 $(x - 2)^5$ 展开式中 $x^3$ 的系数。
2. 求 $\left(x^2 - \dfrac{2}{x}\right)^6$ 展开式中的常数项。
3. 求 $(1 + x)^8$ 的所有二项式系数之和。
4. $(a+b)^n$ 展开式第 3 项的二项式系数与第 4 项的二项式系数之比为 $1:2$，求 $n$。

高考母题

（2024·北京） 在 $\left ( { x-\sqrt{ x } } \right ) ^ { 4 }$ 的展开式中， $x ^ { 3 }$ 的系数为（    ）

A．$6$　　B．$-6$　　C．$12$　　D．$-12$

展开详解

答案：A

【分析】写出二项展开式，令 $4-\frac { r } { 2 }=3$ ，解出 $r$ 然后回代入二项展开式系数即可得解. $\left ( { x-\sqrt{ x } } \right ) ^ { 4 }$ 的二项展开式为 $T_{ r+1 } ={ C }_{ 4 } ^{ r }x ^ { 4-r } \left ( { -\sqrt{ x } } \right ) ^ { r } ={ C }_{ 4 } ^{ r }\left ( { -1 } \right ) ^ { r } x ^ { 4-\frac { r } { 2 } } ,\left ( { r=0,1,2,3,4 } \right )$ ， 令 $4-\frac { r } { 2 }=3$ ，解得 $r=2$ ， 故所求即为 ${ C }_{ 4 } ^{ 2 }\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } =6$ . 故选：A.

一句话总结

二项式系数就是组合数，$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k$ 注意是 $k+1$；项系数要把 $a$、$b$ 里的系数和符号都算进去；常数项令指数为 0 反解 $k$；系数和用赋值法，令变量为 1 得 $2^n$，令 $b=-1$ 得奇偶各半。