计数原理——先会数，再谈概率

概率的第一道门槛不是公式，是数数

概率的古典概型公式简单得可怜：

$P(A) = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}}$

一个除法。可这道除法难在分子分母怎么数。

同一道题，有人数出 20 个基本事件，有人数出 120 个——分母都不对，概率自然错。计数原理这一讲，讲的就是怎么数得对。

两个原则：分类加法，分步乘法

整个计数的地基是两条原则。它们听起来像废话，用错了整题崩。

分类加法：要么走这条路，要么走那条

完成一件事有 $n$ 类办法，第 1 类有 $m_1$ 种、第 2 类有 $m_2$ 种……第 $n$ 类有 $m_n$ 种，且各类办法互不重叠，则完成这件事共有：

$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$

关键词是"互不重叠"。 从甲地到乙地，可以坐火车（3 班）、坐飞机（2 班）、坐汽车（4 班），共 $3+2+4=9$ 种走法。这三类不可能同时发生，相加没问题。

分步乘法：一步接一步

完成一件事分 $n$ 个步骤，第 1 步有 $m_1$ 种选择、第 2 步有 $m_2$ 种……且各步的选择互不影响，则完成这件事共有：

$N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$

关键词是"互不影响"。 从甲地到乙地再到丙地，甲到乙有 3 种走法、乙到丙有 4 种，则全程 $3 \times 4 = 12$ 种——先走哪趟火车，不影响后面坐哪趟汽车，可以相乘。

怎么判断用加法还是乘法

问自己一个问题：这些选择是"选一个就成了"，还是"全都要选一遍"？

• "从北京去上海，可以飞机可以火车"——选一种就完成 → 加法
• "上衣有 3 件、裤子有 4 条，配一套衣服"——必须各选一件 → 乘法

这是最容易错的地方，也是高考选择题的高频陷阱。 上面的配衣服题，如果问"有多少种穿法"，是 $3 \times 4 = 12$；如果问"从中挑一件衣服出门，有几种挑法"，是 $3 + 4 = 7$。同一道题，问法不同，加法乘法就不同。

排列：顺序算不算，就是它和组合的全部区别

排列的定义

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个（$m \le n$），按照一定的顺序排成一列，叫排列。排列数记作 $A_n^m$（也写作 $P_n^m$）：

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

公式不用背，理解方式：有 $m$ 个位子要坐人。第一个位子 $n$ 个人都能坐，坐掉一个后第二个位子只剩 $n-1$ 个选择，第三个位子 $n-2$ 个……第 $m$ 个位子剩 $n-m+1$ 个。乘起来就是排列数。

组合的定义

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，不分顺序，合成一组，叫组合。组合数记作 $C_n^m$：

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{A_n^m}{m!}$

组合和排列的唯一区别：顺序。

同一个"从 10 个人里选 3 个"：

• 选出来当组长、副组长、组员（有职位高低）→ 排列 $A_{10}^3 = 720$
• 选出来组成一个小组（没有分工）→ 组合 $C_{10}^3 = 120$

两者关系：$C_n^m = \dfrac{A_n^m}{m!}$。因为组合出来的 $m$ 个元素，内部还能再排列 $m!$ 种，排列数把这些内部顺序都当成了不同的排法。

判断排列还是组合的唯一标准

变换这 $m$ 个元素的位置，结果会不会变？

• "从 5 本书选 3 本摆在书架上"——换位置，摆法不同 → 排列
• "从 5 本书选 3 本带走"——换顺序，带走的还是那 3 本 → 组合

这一句判断，比任何口诀都可靠。 高考计数题的一半错误，都是把排列当成了组合或反之。

两个性质：让计算变简单

$C_n^m = C_n^{n-m}$

从 $n$ 个里选 $m$ 个留下，等价于选 $n-m$ 个拿走。 所以 $C_{10}^7$ 直接算 $C_{10}^3$，数字小得多。

$C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$

杨辉三角的递推关系。 它在证明题里有用，计算时不如直接用阶乘公式。

排列组合的常见题型

一、相邻问题：捆绑法

5 个人排成一队，其中甲乙必须相邻，有多少种排法？

把甲乙捆成一个"大元素"，与剩下 3 人共 4 个元素排列：$A_4^4 = 24$。再考虑甲乙内部还能互换：$A_2^2 = 2$。共计：

$A_4^4 \times A_2^2 = 48$

二、不相邻问题：插空法

5 个人排成一队，甲乙不能相邻，有多少种排法？

先排其他人（3 人，$A_3^3 = 6$ 种），他们形成 4 个空档（包括两端）：

$\underline{\quad} 人 \underline{\quad} 人 \underline{\quad} 人 \underline{\quad}$

从 4 个空档选 2 个给甲乙：$A_4^2 = 12$（甲乙有区别，选位置后还能互换）。

共计 $6 \times 12 = 72$。

相邻就捆，不相邻就插空。 这两个是配对的套路，高考计数题的常客。

三、至少问题：间接法（正难则反）

从 10 人中选 3 人，要求至少选 1 名女生（已知女生 4 人）。

直接算要分"1 女 2 男""2 女 1 男""3 女"三类相加：

$C_4^1 C_6^2 + C_4^2 C_6^1 + C_4^3 = 60 + 36 + 4 = 100$

间接法：总情况减掉反面。总共 $C_{10}^3 = 120$，反面是"一个女生都没选"，即从 6 个男生里选 3 个：$C_6^3 = 20$。

$120 - 20 = 100$

看到"至少""至多"，第一反应就是间接法。 分类少的时候直接算也行，但一旦类别有三四种，间接法几乎是唯一可行的路。

四、分组问题：除重复

6 个人分成 3 组，每组 2 人，有多少种分法？

如果按"选 2、选 2、选 2"算：$C_6^2 C_4^2 C_2^2 = 15 \times 6 \times 1 = 90$。

但这算重复了。 因为三组之间没有区别（都是 2 人组），而上面的算法把"甲乙 / 丙丁 / 戊己"和"丙丁 / 甲乙 / 戊己"当成了两种分法。实际上它们是同一种分组。

除以组数的阶乘：

$\frac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_3^3} = \frac{90}{6} = 15$

"平均分组要除阶乘"是分组问题最大的坑。 如果各组人数不同（比如 2、2、1），同人数的组之间才除；2、2、1 的分组只除 $A_2^2$。

二项式定理：组合的一个应用

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n$

通项：

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

二项式系数就是组合数——展开式中 $a^{n-k}b^k$ 那一项，相当于从 $n$ 个因子里挑 $k$ 个取 $b$，剩下取 $a$。

三个常考点：

求某项系数：代入通项，注意不要把二项式系数和项的系数搞混。$(2x+1)^5$ 的第 3 项，二项式系数是 $C_5^2 = 10$，但项的系数是 $C_5^2 \cdot 2^2 = 40$。

求常数项：令 $x$ 的指数为 0，解出 $k$。

系数和：令所有变量为 1，得 $2^n$。令 $a=1, b=-1$，得奇数项系数和减偶数项系数和为 0，即两者都是 $2^{n-1}$。

在高中数学体系里的位置

• 概率统计（同一专题）：古典概型、二项分布的概率公式全靠组合数。$C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ 里的 $C_n^k$ 就是本讲的组合。
• 数列：杨辉三角本身就是组合数的三角排列，与数列通项互相对应。
• 代数运算：二项式定理是处理高次展开的唯一系统方法。

思考与拓展

1. 从 5 名男生 4 名女生中选 3 人，要求男女生都有，有多少种选法？
2. 5 个人排成一队，甲不在排头也不在排尾，有多少种排法？
3. 求 $(2x - 1)^6$ 展开式中 $x^3$ 项的系数。
4. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，有多少种分法？

一句话总结

分类加法"选一类就成"，分步乘法"每步都要选"；排列管顺序、组合不管，标准是"换位置结果变不变"；相邻捆绑、不相邻插空、至少问题正难则反、平均分组除阶乘；二项式定理的系数就是组合数。