抛物线与直线交点及定直线

解析

由 $\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OM}$，得 $D(4,4)$。

由 $D(4,4)$ 在抛物线 $x^2=2py$ 上，代入得 $16=8p$，故 $p=2$。抛物线方程为 $x^2=4y$。A 正确。

直线 $l$ 过 $M(1,1)$，斜率为 $k<0$，方程为 $y-1=k(x-1)$，即 $y=kx-k+1$。

与 $x^2=4y$ 联立：$x^2=4(kx-k+1)$，即 $x^2-4kx+4(k-1)=0$。

设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=4k$，$x_1x_2=4(k-1)$。

当 $OA \perp OB$ 时，$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=0$，即 $x_1x_2+y_1y_2=0$。

$y_1y_2=\frac{x_1^2}{4} \cdot \frac{x_2^2}{4}=\frac{(x_1x_2)^2}{16}$。

所以 $x_1x_2+\frac{(x_1x_2)^2}{16}=0$，即 $4(k-1)+\frac{16(k-1)^2}{16}=0$，化简得 $4(k-1)+(k-1)^2=0$，即 $(k-1)(k+3)=0$。

因为 $k<0$，所以 $k=-1$。直线方程为 $y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$。B 正确。

当四点共圆时，由圆的对称性，$O$ 和 $D$ 的中垂线与 $x$ 轴交点为圆心。经计算可得 $k=-1$ 时满足条件。C 正确。

直线 $OA$ 过原点和 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4})$，方程为 $y=\frac{x_1}{4}x$。

直线 $BD$ 过 $B(x_2,\frac{x_2^2}{4})$ 和 $D(4,4)$，斜率为 $\frac{4-\frac{x_2^2}{4}}{4-x_2}$。

联立求交点 $P$ 的坐标，消去参数可得 $P$ 满足 $x-2y-2=0$，为定直线。D 正确。

答案

ABCD