指数函数与它的倒数底函数

分析：注意 $g(x)=\left(\dfrac1a\right)^x=a^{-x}$，它与 $f(x)=a^x$ 底数互为倒数。

（1）讨论单调性

情形一：$a>1$

$f(x)=a^x$ 底数大于 1，单调递增。

$g(x)=a^{-x}$ 相当于把 $a^x$ 先关于 $y$ 轴翻折，单调递减。

情形二：$0<a<1$

$f(x)=a^x$ 底数小于 1，单调递减。

$g(x)=a^{-x}$ 单调递增。

结论：无论 $a$ 取何值，$f$ 与 $g$ 的单调性恰好相反。

（2）解 $f(x)<g(x)$

$$a^x<a^{-x}$$

两边都是正数，同除以 $a^{-x}$：

$$a^{2x}<1$$

即

$$a^{2x}<a^0$$

分情况讨论：

若 $a>1$，$y=a^t$ 递增，所以

$$2x<0\quad\Rightarrow\quad x<0$$

若 $0<a<1$，$y=a^t$ 递减，所以

$$2x>0\quad\Rightarrow\quad x>0$$

验证：取 $a=2$，$x=-1$ 时 $f(x)=\dfrac12$，$g(x)=2$，确有 $f<g$；$x=0$ 时两者都等于 1，不满足严格小于，故 $x=0$ 不取。

答案

（1）$a>1$ 时 $f$ 递增、$g$ 递减；$0<a<1$ 时 $f$ 递减、$g$ 递增。

（2）$a>1$ 时 $x\in(-\infty,0)$；$0<a<1$ 时 $x\in(0,+\infty)$。

本质：$f$ 与 $g$ 关于 $y$ 轴对称，交点恒在 $x=0$（此时都等于 1）。