同一解析式不同定义域的单调性与最值

分析：两个函数解析式相同，但定义域不同。判断单调区间必须先看定义域。

看 $f(x)=x^2-2x$

配方：

$$f(x)=(x-1)^2-1$$

这是开口向上的抛物线，对称轴 $x=1$。

• 在 $(-\infty,1)$ 上，$y$ 随 $x$ 增大而减小，单调递减
• 在 $(1,+\infty)$ 上，$y$ 随 $x$ 增大而增大，单调递增

最小值在顶点 $x=1$ 处取得：

$$f_{\min}=f(1)=-1$$

看 $g(x)=x^2-2x$，$x\in[2,4]$

解析式相同，但定义域被限制在 $[2,4]$，整个区间都在对称轴 $x=1$ 的右侧。

所以在 $[2,4]$ 上 $g(x)$ 单调递增，没有递减区间。

最小值在左端点取得：

$$g_{\min}=g(2)=4-4=0$$

（最大值 $g(4)=16-8=8$）

答案

（1）$f(x)$：递减区间 $(-\infty,1)$，递增区间 $(1,+\infty)$；$g(x)$：在定义域 $[2,4]$ 上单调递增，无递减区间。

（2）$f(x)$ 最小值 $-1$（在 $x=1$ 处）；$g(x)$ 最小值 $0$（在 $x=2$ 处）。

本题要害：$x=1$ 是 $f$ 的最小值点，但它不在 $g$ 的定义域 $[2,4]$ 内，所以 $g$ 的最小值取在端点 $x=2$。判断最值前先看定义域。