小岛到城镇的时间函数

分析：设上岸点距 $P$ 为 $x\text{ km}$。小船航程是小岛到上岸点的直线距离，用勾股定理；步行段是上岸点到城镇的沿海距离。

（1）建立函数

小岛到上岸点：直角三角形两直角边为 $2$ 和 $x$，斜边长

$$\sqrt{2^2+x^2}=\sqrt{4+x^2}\text{ km}$$

船速 $3\text{ km/h}$，所用时间

$$t_1=\frac{\sqrt{4+x^2}}{3}$$

上岸点到城镇：沿海距离为 $12-x$，步速 $5\text{ km/h}$，所用时间

$$t_2=\frac{12-x}{5}$$

总时间

$$t(x)=\frac{\sqrt{4+x^2}}{3}+\frac{12-x}{5}$$

其中 $0\le x\le 12$。

（2）计算 $x=4$ 时的时间

$$t(4)=\frac{\sqrt{4+16}}{3}+\frac{12-4}{5} =\frac{\sqrt{20}}{3}+\frac{8}{5} =\frac{2\sqrt5}{3}+\frac{8}{5}$$

代入数值：

$$\frac{2\times 2.236}{3}+1.6\approx 1.491+1.6=3.091\text{ h}$$

精确到 $0.1\text{ h}$：

$$t(4)\approx 3.1\text{ h}$$

顺便求最优上岸点（可选）：

求导 $t'(x)=\dfrac{x}{3\sqrt{4+x^2}}-\dfrac15$，令其为零解得 $x=1.5\text{ km}$，此时最短时间约 $2.93\text{ h}$。

答案

（1）$t(x)=\dfrac{\sqrt{4+x^2}}{3}+\dfrac{12-x}{5}$，$x\in[0,12]$；

（2）$x=4$ 时约需 $3.1\text{ h}$。

易错点：小船走的是直线（勾股定理），不是沿海岸线；而上岸点之后才步行。