公切线与参数求解

对曲线 $y=x^2-3\ln x$（$x>0$），设切点为 $(t,\,t^2-3\ln t)$。

求导：$y'=2x-\dfrac{3}{x}$。

公切线斜率为 $-1$（直线 $x+y+m=0$ 的斜率），故 $2t-\dfrac{3}{t}=-1$。

整理得 $2t^2+t-3=0$，即 $(2t+3)(t-1)=0$。因 $t>0$，得 $t=1$。

切点为 $(1,\,1)$，切线方程：$y-1=-1\cdot(x-1)$，即 $y=-x+2$。

对比 $x+y+m=0$，得 $m=-2$。

对曲线 $y=x^3+nx-52$，设切点为 $(s,\,s^3+ns-52)$。

求导：$y'=3x^2+n$。由 $y'=-1$ 得 $3s^2+n=-1$，即 $n=-1-3s^2$。

切线过切点：$s^3+ns-52=-s+2$。

将 $n=-1-3s^2$ 代入：$s^3+(-1-3s^2)s-52=-s+2$。

展开：$s^3-s-3s^3-52=-s+2$，即 $-2s^3=54$，$s^3=-27$，$s=-3$。

代回：$n=-1-3\times 9=-28$。

因此 $m-n=(-2)-(-28)=26$。

答案

选 C。$m-n=26$。