偶函数单调性的应用

分析：利用偶函数性质把负自变量转到正半轴，再用单调性比较。

第一步：偶函数对称

$$f(-1)=f(1),\qquad f(-2)=f(2)$$

第二步：判断 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性

偶函数的图象关于 $y$ 轴对称。已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上递增，那么对称到右半轴，单调性反向——在 $(0,+\infty)$ 上递减。

第三步：比较大小

因为 $0<1<2$，而 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上递减，所以

$$f(1)>f(2)$$

代入 $f(-1)=f(1)$、$f(-2)=f(2)$：

$$f(-1)>f(-2),\qquad f(-1)>f(2)$$

逐项检验：

• A. $f(-1)<f(-2)$，即 $f(1)<f(2)$，错
• B. $f(1)<f(2)$，错
• C. $f(-1)<f(2)$，即 $f(1)<f(2)$，错
• D. $f(-1)>f(2)$，对

答案

选 D。

一句话记：偶函数在 $y$ 轴两侧单调性相反——左增则右减，左减则右增。