函数单调性与奇偶性的判断

分析：单调性与奇偶性都有严格定义，不能由一两个函数值推断。逐个判断。

（1）"若 $f(2)>f(1)$，则 $f(x)$ 是增函数"

错误。增函数要求对定义域内任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$，只验证了一对值远远不够。

反例：

$$f(x)=\begin{cases}10, & x=2\\ 5, & x=1\\ 0, & \text{其它}\end{cases}$$

满足 $f(2)>f(1)$ 但不是增函数。

（2）"若 $f(2)>f(1)$，则 $f(x)$ 不是减函数"

正确。减函数要求对任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)\ge f(x_2)$。现在 $1<2$ 却有 $f(1)<f(2)$，直接违反了减函数定义，所以一定不是减函数。

（3）"若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数"

错误。函数在某个区间递增，不代表在整个定义域递增。

反例：

$$f(x)=\begin{cases}-x, & x\le 0\\ x, & x>0\end{cases}$$

在 $(0,+\infty)$ 上递增，但在 $\mathbf{R}$ 上不是增函数（取 $x_1=-1,x_2=1$ 有 $f(x_1)=1>1=f(x_2)$ 的矛盾情况）。

（4）"若 $f(0)=0$，则 $f(x)$ 是奇函数"

错误。奇函数要求对定义域内所有 $x$ 都有 $f(-x)=-f(x)$。$f(0)=0$ 只是必要条件，远不充分。

反例：

$$f(x)=x^2$$

满足 $f(0)=0$，但它是偶函数不是奇函数。

答案

（1）错；（2）对；（3）错；（4）错。只有（2）成立。

关键：单调性与奇偶性都是"对任意 $x$"的全称命题，举一个正例不能证明，举一个反例足以推翻。