三角不等式与余弦函数极值

第(1)问

证 $x-x^2<\sin x<x$ 对 $0<x<1$ 成立。

右不等式 $\sin x<x$：设 $g(x)=x-\sin x$，$g(0)=0$，$g'(x)=1-\cos x\geq 0$。$g(x)>0$（$x>0$）。

左不等式 $x-x^2<\sin x$：即 $\sin x-x+x^2>0$。

设 $h(x)=\sin x-x+x^2$，$h(0)=0$，$h'(x)=\cos x-1+2x$。

$h'(0)=0$，$h''(x)=-\sin x+2>0$（$0<x<1$，$\sin x<1<2$）。

$h'(x)$ 递增，$h'(x)>h'(0)=0$，$h(x)$ 递增，$h(x)>h(0)=0$。

答案

(1) 证明见解析。

第(2)问

$f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)$，$x=0$ 为极大值点，$a$ 的取值范围。

$f(0)=1$。$f'(x)=-a\sin ax+\dfrac{2x}{1-x^2}$，$f'(0)=0$（恒成立）。

$f''(x)=-a^2\cos ax+\dfrac{2(1-x^2)+4x^2}{(1-x^2)^2}=-a^2\cos ax+\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}$

$f''(0)=-a^2+2$

$x=0$ 为极大值需 $f''(0)<0$（或 $f''(0)=0$ 且更高阶）。

$f''(0)<0$：$-a^2+2<0$，$a^2>2$，$|a|>\sqrt{2}$。

但还需检验 $f''(0)=0$ 即 $a=\pm\sqrt{2}$ 时 $x=0$ 是否为极大值。

$f''(0)=0$ 时需 $f'''(0)=0$ 且 $f^{(4)}(0)<0$。

$f'''(x)=a^3\sin ax+\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}\right]$，$f'''(0)=0$（奇函数性质）。

$f^{(4)}(0)=a^4+\dfrac{d^2}{dx^2}\left[\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}\right]_{x=0}$

$\dfrac{d^2}{dx^2}\left[\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}\right]_{x=0}$：展开 $\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}=2(1+x^2)(1+2x^2+\cdots)=2+6x^2+\cdots$，二阶导 $=12$。

$f^{(4)}(0)=a^4+12>0$，故 $a=\pm\sqrt{2}$ 时 $x=0$ 为极小值，不是极大值。

还需检查 $f''(0)<0$ 是否充分（$|a|>\sqrt{2}$ 时是否一定是极大值）。

$f''(0)<0$ 意味着 $x=0$ 附近 $f$ 递减，为极大值。但需全局验证。

$f''(x)=-a^2\cos ax+\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}$

需 $f$ 在 $x=0$ 处为极大值，即在 $x=0$ 的邻域内 $f(x)\leq f(0)$。

$f''(0)<0$ 保证局部极大值。但当 $|a|$ 过大时 $\cos ax$ 可能快速变化。

实际上题目说 $x=0$ 是极大值点，只需局部条件 $f''(0)<0$，即 $a^2>2$。

但若 $a$ 过大，$f$ 可能在 $x=0$ 附近有波动。$\cos ax$ 在 $x$ 变化时可能改变 $f''$ 符号。

需 $f''(x)<0$ 在 $x=0$ 的某个邻域成立，即 $-a^2\cos ax+\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}<0$。

在 $x$ 充分小时，$\cos ax\approx 1$，$\dfrac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}\approx 2+6x^2$，$f''\approx -a^2+2+(6-a^2\cdot\dfrac{a^2x^2}{2})x^2\approx -a^2+2+(6+\dfrac{a^4}{2})x^2$。

$x=0$ 附近 $f''\approx -(a^2-2)+(6+\dfrac{a^4}{2})x^2$，由 $a^2>2$，前项为负，$x$ 充分小时 $f''<0$。

但当 $a$ 较大时，$x$ 稍大 $\cos ax$ 可能为负，$-a^2\cos ax$ 为正，$f''$ 变正。

题目只要求 $x=0$ 是极大值点（局部），故 $|a|>\sqrt{2}$ 即可。

答案

(2) $a$ 的取值范围为 $|a|>\sqrt{2}$，即 $a\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。