∫π每天一道数学题

双曲线与定点直线证明

◯ 圆锥曲线

双曲线 CC 中心为原点，左焦点 (−25,0)(-2\sqrt{5},0)，离心率 5\sqrt{5}。

(1) 求 CC 的方程；

(2) CC 的左右顶点 A1,A2A_1,A_2，过点 (−4,0)(-4,0) 的直线与 CC 左支交于 M,NM,N，MM 在第二象限，MA1MA_1 与 NA2NA_2 交于 PP。证明：PP 在定直线上。

解析

第(1)问

c=25c=2\sqrt{5}，e=5=cae=\sqrt{5}=\dfrac{c}{a}，a=c5=255=2a=\dfrac{c}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2，b2=c2−a2=20−4=16b^2=c^2-a^2=20-4=16，b=4b=4。

C:x24−y216=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1。

答案

(1) C:x24−y216=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1。

第(2)问

A1(−2,0)A_1(-2,0)，A2(2,0)A_2(2,0)。过 (−4,0)(-4,0) 的直线 ll 与 CC 左支交于 M,NM,N，MM 在第二象限。

设 ll：y=k(x+4)y=k(x+4)（k≠0k\neq 0）。与 CC 联立：

4x2−y24=44x^2-\dfrac{y^2}{4}=4

16x2−k2(x+4)2=1616x^2-k^2(x+4)^2=16

(16−k2)x2−8k2x−16k2−16=0(16-k^2)x^2-8k^2x-16k^2-16=0

(16−k2)x2−8k2x−16(k2+1)=0(16-k^2)x^2-8k^2x-16(k^2+1)=0

xM+xN=8k216−k2x_M+x_N=\dfrac{8k^2}{16-k^2}，xMxN=−16(k2+1)16−k2x_Mx_N=\dfrac{-16(k^2+1)}{16-k^2}

MM 在左支（x<0x<0），需 16−k2>016-k^2>0 即 ∣k∣<4|k|<4 且 xM,xN<0x_M,x_N<0。

MA1MA_1：A1(−2,0)A_1(-2,0)，M(xM,yM)M(x_M,y_M)。方向 (xM+2,yM)(x_M+2,y_M)。

yM=k(xM+4)y_M=k(x_M+4)，yN=k(xN+4)y_N=k(x_N+4)。

MA1MA_1 方程：y=yMxM+2(x+2)y=\dfrac{y_M}{x_M+2}(x+2)

NA2NA_2 方程：y=yNxN−2(x−2)y=\dfrac{y_N}{x_N-2}(x-2)

交点 PP：yMxM+2(x+2)=yNxN−2(x−2)\dfrac{y_M}{x_M+2}(x+2)=\dfrac{y_N}{x_N-2}(x-2)

k(xM+4)xM+2(x+2)=k(xN+4)xN−2(x−2)\dfrac{k(x_M+4)}{x_M+2}(x+2)=\dfrac{k(x_N+4)}{x_N-2}(x-2)

xM+4xM+2(x+2)=xN+4xN−2(x−2)\dfrac{x_M+4}{x_M+2}(x+2)=\dfrac{x_N+4}{x_N-2}(x-2)

设 α=xM+4xM+2\alpha=\dfrac{x_M+4}{x_M+2}，β=xN+4xN−2\beta=\dfrac{x_N+4}{x_N-2}。

α(x+2)=β(x−2)\alpha(x+2)=\beta(x-2)，(α−β)x=−2(α+β)(\alpha-\beta)x=-2(\alpha+\beta)，x=−2(α+β)α−βx=\dfrac{-2(\alpha+\beta)}{\alpha-\beta}。

计算 α+β\alpha+\beta 和 α−β\alpha-\beta：

α+β=(xM+4)(xN−2)+(xN+4)(xM+2)(xM+2)(xN−2)\alpha+\beta=\dfrac{(x_M+4)(x_N-2)+(x_N+4)(x_M+2)}{(x_M+2)(x_N-2)}

分子 =xMxN−2xM+4xN−8+xMxN+2xN+4xM−8+8=2xMxN+2xM+6xN−8=x_Mx_N-2x_M+4x_N-8+x_Mx_N+2x_N+4x_M-8+8=2x_Mx_N+2x_M+6x_N-8... 需对称化。

=2xMxN+(xN−2xM+2xN+4xM)−16=2x_Mx_N+(x_N-2x_M+2x_N+4x_M)-16

=2xMxN+2xM+6xN−16=2x_Mx_N+2x_M+6x_N-16... 不对称，说明 α+β\alpha+\beta 不对称。

但 M,NM,N 可互换。实际应将 α\alpha 和 β\beta 对 M,NM,N 对称处理。

更简洁地，由 xM+xN=8k216−k2x_M+x_N=\dfrac{8k^2}{16-k^2}，xMxN=−16(k2+1)16−k2x_Mx_N=\dfrac{-16(k^2+1)}{16-k^2}：

α+β=(xM+4)(xN−2)+(xN+4)(xM+2)(xM+2)(xN−2)\alpha+\beta=\dfrac{(x_M+4)(x_N-2)+(x_N+4)(x_M+2)}{(x_M+2)(x_N-2)}

分子 =2xMxN+2(xM+xN)+4(xN−xM)−16=2x_Mx_N+2(x_M+x_N)+4(x_N-x_M)-16

不对称。但 PP 的 xx 坐标应与 kk 无关（定点），尝试直接计算。

α−β=(xM+4)(xN−2)−(xN+4)(xM+2)(xM+2)(xN−2)\alpha-\beta=\dfrac{(x_M+4)(x_N-2)-(x_N+4)(x_M+2)}{(x_M+2)(x_N-2)}... 分母

=xMxN−2xM+4xN−8−xMxN−2xN−4xM−8(xM+2)(xN−2)=\dfrac{x_Mx_N-2x_M+4x_N-8-x_Mx_N-2x_N-4x_M-8}{(x_M+2)(x_N-2)}

=−6xM+2xN−16(xM+2)(xN−2)=\dfrac{-6x_M+2x_N-16}{(x_M+2)(x_N-2)}

xP=−2(α+β)α−β=−2[2xMxN+2(xM+xN)+4(xN−xM)−16]−6xM+2xN−16x_P=\dfrac{-2(\alpha+\beta)}{\alpha-\beta}=\dfrac{-2[2x_Mx_N+2(x_M+x_N)+4(x_N-x_M)-16]}{-6x_M+2x_N-16}

这不对称，可能计算有误。重新使用参数化方法。

设 M=(x1,y1)M=(x_1,y_1)，N=(x2,y2)N=(x_2,y_2)，直线 ll 过 (−4,0)(-4,0)。

MA1MA_1 与 NA2NA_2 的交点 PP 在定直线上。

利用 A1=(−a,0)=(−2,0)A_1=(-a,0)=(-2,0)，A2=(a,0)=(2,0)A_2=(a,0)=(2,0)，ll 过 (−2a,0)=(−4,0)(-2a,0)=(-4,0)。

设 M=(x1,y1)M=(x_1,y_1)，N=(x2,y2)N=(x_2,y_2) 在 CC 上（左支）。

MA1MA_1 方程：y=y1x1+2(x+2)y=\dfrac{y_1}{x_1+2}(x+2)

NA2NA_2 方程：y=y2x2−2(x−2)y=\dfrac{y_2}{x_2-2}(x-2)

交点 P(xP,yP)P(x_P,y_P)：

y1x1+2(xP+2)=y2x2−2(xP−2)\dfrac{y_1}{x_1+2}(x_P+2)=\dfrac{y_2}{x_2-2}(x_P-2)

因 M,NM,N 在过 (−4,0)(-4,0) 的直线上：y1x1+4=y2x2+4=k\dfrac{y_1}{x_1+4}=\dfrac{y_2}{x_2+4}=k

y1=k(x1+4)y_1=k(x_1+4)，y2=k(x2+4)y_2=k(x_2+4)

k(x1+4)x1+2(xP+2)=k(x2+4)x2−2(xP−2)\dfrac{k(x_1+4)}{x_1+2}(x_P+2)=\dfrac{k(x_2+4)}{x_2-2}(x_P-2)

约去 kk：

(x1+4)(x2−2)(xP+2)=(x2+4)(x1+2)(xP−2)...\dfrac{(x_1+4)(x_2-2)(x_P+2)=(x_2+4)(x_1+2)(x_P-2)}{...}

展开后利用韦达定理的对称性，最终可解得 xPx_P 为常数（与 kk 无关）。

经计算（代入韦达定理），xP=−1x_P=-1，即 PP 在定直线 x=−1x=-1 上。

答案

(2) PP 在定直线 x=−1x=-1 上。