仓库选址的费用最小问题

分析：设仓库到车站距离为 $x\text{ km}$，两项费用之和为 $Y$ 万元。

设两个函数

土地占地费与 $x$ 成反比：

$$y_1=\frac{k_1}{x}$$

库存货物费与 $x$ 成正比：

$$y_2=k_2x$$

求比例系数

已知 $x=10$ 时 $y_1=2$，$y_2=8$：

$$2=\frac{k_1}{10}\Rightarrow k_1=20$$ $$8=10k_2\Rightarrow k_2=0.8$$

所以

$$y_1=\frac{20}{x},\qquad y_2=0.8x$$

列总费用函数

$$Y=y_1+y_2=\frac{20}{x}+0.8x\qquad (x>0)$$

求最小值

对 $x$ 求导：

$$Y'=-\frac{20}{x^2}+0.8$$

令 $Y'=0$：

$$0.8=\frac{20}{x^2}$$ $$x^2=\frac{20}{0.8}=25$$ $$x=5\quad(\text{舍去负值})$$

验证这是极小值：

$$Y''=\frac{40}{x^3}>0\qquad(x>0)$$

故 $x=5$ 时 $Y$ 取极小值，也是最小值。

$$Y_{\min}=\frac{20}{5}+0.8\times 5=4+4=8\text{ 万元}$$

答案

仓库应建在距离车站 $5\text{ km}$ 处，此时两项费用之和最小，为 $8$ 万元。

不用导数的做法：直接用基本不等式 $\dfrac{20}{x}+0.8x\ge 2\sqrt{20\times0.8}=8$，当且仅当 $\dfrac{20}{x}=0.8x$ 即 $x=5$ 时取等号。