∫π每天一道数学题

信号传输概率与译码

P 概率统计

信道传输 0,10,1 信号。发送 00 时收到 11 概率 α\alpha（0<α<10<\alpha<1），收到 00 概率 1−α1-\alpha；发送 11 时收到 00 概率 β\beta（0<β<10<\beta<1），收到 11 概率 1−β1-\beta。三次传输方案：每个信号重复发 33 次，收到信号中出现次数多的为译码。

A. 单次方案发送 1,0,11,0,1，依次收到 1,0,11,0,1 概率 (1−α)(1−β)2(1-\alpha)(1-\beta)^2

B. 三次方案发送 11，收到 1,0,11,0,1 概率 β(1−β)2\beta(1-\beta)^2

C. 三次方案发送 11，译码为 11 概率 β(1−β)2+(1−β)3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3

D. 0<α<0.50<\alpha<0.5 时，发送 00，三次方案译码为 00 概率大于单次方案

解析

发送 00：收 11 概率 α\alpha，收 00 概率 1−α1-\alpha。

发送 11：收 00 概率 β\beta，收 11 概率 1−β1-\beta。

三次方案：每个信号重复 33 次，出现次数多的为译码。

A：单次发送 1,0,11,0,1，收 1,0,11,0,1。三次独立，每次不同信号。收 11（第一次，发送 11）概率 1−β1-\beta。收 00（第二次，发送 00）概率 1−α1-\alpha。收 11（第三次，发送 11）概率 1−β1-\beta。概率 =(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)2=(1-\beta)(1-\alpha)(1-\beta)=(1-\alpha)(1-\beta)^2。A 正确。

B：三次发送 11，收 1,0,11,0,1。每次独立收 11 概率 1−β1-\beta，收 00 概率 β\beta。P(1,0,1)=(1−β)⋅β⋅(1−β)=β(1−β)2P(1,0,1)=(1-\beta)\cdot\beta\cdot(1-\beta)=\beta(1-\beta)^2。B 正确。

C：三次发送 11，译码为 11 需至少收到 22 个 11。P=3(1−β)2β+(1−β)3=(1−β)2(3β+1−β)=(1−β)2(1+2β)P=3(1-\beta)^2\beta+(1-\beta)^3=(1-\beta)^2(3\beta+1-\beta)=(1-\beta)^2(1+2\beta)。C 给的是 β(1−β)2+(1−β)3=(1−β)2(β+1−β)=(1−β)2\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3=(1-\beta)^2(\beta+1-\beta)=(1-\beta)^2。这只有"恰好 22 个 11 且第 33 个 00 在固定位置"+"全 11"，缺另外两种 2:12:1 排列。C 错误。

D：0<α<0.50<\alpha<0.5 时，发送 00，三次方案译码为 00 的概率 =(1−α)3+3(1−α)2α=(1−α)2(1+2α)=(1-\alpha)^3+3(1-\alpha)^2\alpha=(1-\alpha)^2(1+2\alpha)。

单次方案译码为 00 的概率 =1−α=1-\alpha。

(1−α)2(1+2α)(1-\alpha)^2(1+2\alpha) vs 1−α1-\alpha。(1−α)(1+2α)(1-\alpha)(1+2\alpha) vs 11。1+2α−α−2α2=1+α−2α21+2\alpha-\alpha-2\alpha^2=1+\alpha-2\alpha^2。

α<0.5\alpha<0.5：1+α−2α2>1+α−2⋅0.25=1+α−0.5>11+\alpha-2\alpha^2>1+\alpha-2\cdot 0.25=1+\alpha-0.5>1（α>0\alpha>0）。故三次方案 >> 单次。D 正确。

答案

A、B、D 正确。