含对数与分式的函数极值

$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}$，$a\neq 0$。

$f'(x)=\dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{x^2}-\dfrac{2c}{x^3}=\dfrac{ax^2-bx-2c}{x^3}$

$f$ 既有极大值也有极小值 $\Leftrightarrow$ $f'(x)=0$ 有两个不同正根 $\Leftrightarrow$ $ax^2-bx-2c=0$ 有两个不同正根。

判别式 $\Delta=b^2+8ac>0$（C 正确）。

两个正根：$x_1x_2=\dfrac{-2c}{a}>0$（同号），$x_1+x_2=\dfrac{b}{a}>0$（同正）。

$\dfrac{-2c}{a}>0$ 即 $c$ 与 $a$ 异号，$ac<0$（D 正确））。

$\dfrac{b}{a}>0$ 即 $ab>0$（B 正确））。

$ac<0$ 时 $b^2+8ac$ 不一定 $>0$（$c$ 与 $a$ 异号，$8ac<0$，但 $b^2$ 可补偿）。但既有极大也有极小需 $\Delta>0$，C 是必要条件。

$bc$：由 $ab>0$ 和 $ac<0$，$b$ 与 $a$ 同号，$c$ 与 $a$ 异号，故 $bc<0$，A 错误。

B、C、D 正确。

答案

选 B、C、D。