∫π每天一道数学题

等比数列前n项和

Σ 数列

记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S4=−5S_4=-5，S6=21S2S_6=21S_2，则 S8=S_8=（ ）

A. 120120

B. 8585

C. −85-85

D. −120-120

解析

S4=−5S_4=-5，S6=21S2S_6=21S_2。

Sn=a1(1−qn)1−qS_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}（q≠1q\neq 1）。

S4=a1(1−q4)1−q=−5S_4=\dfrac{a_1(1-q^4)}{1-q}=-5

S6=a1(1−q6)1−q=21⋅a1(1−q2)1−qS_6=\dfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=21\cdot\dfrac{a_1(1-q^2)}{1-q}

S6S2=1−q61−q2=21\dfrac{S_6}{S_2}=\dfrac{1-q^6}{1-q^2}=21

1+q2+q4=211+q^2+q^4=21（因 1−q6=(1−q2)(1+q2+q4)1-q^6=(1-q^2)(1+q^2+q^4)）

q4+q2−20=0q^4+q^2-20=0，(q2+5)(q2−4)=0(q^2+5)(q^2-4)=0，q2=4q^2=4，q=±2q=\pm 2。

q=2q=2：S4=a1(1−16)−1=15a1=−5S_4=\dfrac{a_1(1-16)}{-1}=15a_1=-5，a1=−13a_1=-\dfrac{1}{3}。

S8=−13(1−256)−1=−13⋅(−255)−1=2553⋅(−1)=−85S_8=\dfrac{-\frac{1}{3}(1-256)}{-1}=\dfrac{-\frac{1}{3}\cdot(-255)}{-1}=\dfrac{255}{3\cdot(-1)}=-85。

q=−2q=-2：S4=a1(1−16)1−(−2)=−15a13=−5a1=−5S_4=\dfrac{a_1(1-16)}{1-(-2)}=\dfrac{-15a_1}{3}=-5a_1=-5，a1=1a_1=1。

S8=1⋅(1−256)3=−2553=−85S_8=\dfrac{1\cdot(1-256)}{3}=\dfrac{-255}{3}=-85。

两种情况 S8=−85S_8=-85。

答案

选 C。S8=−85S_8=-85。