【答案】(1)
f(x) 在 (0,4π) 上单调递增,在 (4π,2π) 上单调递减
(2) (−∞,3]
【分析】（1）求导,然后令 t=cos2x ,讨论导数的符号即可
（2） 构造 g(x)=f(x)−sin2x ,计算[插图]
的最大值,然后与0比较大小,得出 a 的分界点,再对 a 讨论即可.
【详解】（1） f′(x)=a−cos6xcosxcos3x+3sinxcos2xsinx
=a−cos4xcos2x+3sin2x=a−cos4x3−2cos2x
令 cos2x=t ,则 t∈(0,1)
则 f′(x)=g(t)=a−t23−2t=t2at2+2t−3
当 a=8,f′(x)=g(t)=t28t2+2t−3=t2(2t−1)(4t+3)
当 t∈(0,21) ,即 x∈(4π,2π),f′(x)<0 .
当 t∈(21,1) ,即 x∈(0,4π),f′(x)>0 .
所以 f(x) 在 (0,4π) 上单调递增,在 (4π,2π) 上单调递减
（2） 设 g(x)=f(x)−sin2x
g′(x)=f′(x)−2cos2x=g(t)−2(2cos2x−1)=t2at2+2t−3−2(2t−1)=a+2−4t+t2−t23 设 φ(t)=a+2−4t+t2−t23
φ′(t)=−4−t22+t36=t3−4t3−2t+6=−t32(t−1)(2t2+2t+3)>0
所以 φ(t)<φ(1)=a−3 .
1∘ 若 a∈(−∞,3] ,[插图]
即 g(x) 在 (0,2π) 上单调递减,所以 g(x)<g(0)=0 .
所以当 a∈(−∞,3],f(x)<sin2x ,符合题意.
2∘ 若 a∈(3,+∞)
当 t→0,t2−t23=−3(t1−31)2+31→−∞ ,所以 φ(t)→−∞ .
φ(1)=a−3>0 .
所以 ∃t0∈(0,1) ,使得 φ(t0)=0 ,即 ∃x0∈(0,2π) ,使得 g′(x0)=0 .
当 t∈(t0,1),φ(t)>0 ,即当 x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x) 单调递增.
所以当 x∈(0,x0),g(x)>g(0)=0 ,不合题意.
综上, a 的取值范围为 (−∞,3] .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 t=cosx 在定义域内是减函数,若 t0=cosx0 ,当 t∈(t0,1),φ(t)>0 ,对应当 x∈(0,x0),g′(x)>0 .