三角形角平分线长度

$AB=2$，$\angle BAC=60°$，$BC=\sqrt{6}$。$AD$ 为角平分线。

由余弦定理：$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos 60°$

$6=4+AC^2-2\cdot 2\cdot AC\cdot\dfrac{1}{2}=4+AC^2-2AC$

$AC^2-2AC-2=0$，$AC=\dfrac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}$

$AC>0$，$AC=1+\sqrt{3}$。

角平分线定理：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$

角平分线长度公式：$AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\dfrac{A}{2}}{AB+AC}$

$\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$AD=\dfrac{2\cdot 2\cdot(1+\sqrt{3})\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2+1+\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}$

$=\dfrac{2\sqrt{3}+6}{3+\sqrt{3}}=\dfrac{2(3+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}=2$

答案

$AD=2$。