∫π每天一道数学题

含全称与存在量词的命题否定

∪ 集合与逻辑基础版

写出下列命题的否定，并判断它们的真假： （1）∀a∈R\forall a\in\mathbf{R}，一元二次方程 x2−ax−1=0x^2-ax-1=0 有实根； （2）每个正方形都是平行四边形； （3）∃m∈N\exists m\in\mathbf{N}，m2+1∈N\sqrt{m^2+1}\in\mathbf{N}； （4）存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于 360∘360^\circ。

解析

分析：命题的否定，全称改存在、存在改全称，再把结论否定掉。逐个来。

（1）原命题：∀a∈R\forall a\in\mathbf{R}，一元二次方程 x2−ax−1=0x^2-ax-1=0 有实根。

否定：∃a∈R\exists a\in\mathbf{R}，一元二次方程 x2−ax−1=0x^2-ax-1=0 没有实根。

真假：原方程为二次方程（二次项系数 1，恒成立），判别式

Δ=a2+4\Delta=a^2+4

因为 a2≥0a^2\ge 0，所以 Δ=a2+4≥4>0\Delta=a^2+4\ge 4>0 恒成立，方程恒有两个不等实根。

原命题真，否定假。

（2）原命题：每个正方形都是平行四边形。

否定：存在一个正方形不是平行四边形。

真假：正方形是特殊的平行四边形（邻边相等的矩形）。原命题真，否定假。

（3）原命题：∃m∈N\exists m\in\mathbf{N}，m2+1∈N\sqrt{m^2+1}\in\mathbf{N}。

否定：∀m∈N\forall m\in\mathbf{N}，m2+1∉N\sqrt{m^2+1}\notin\mathbf{N}。

真假：若 m2+1\sqrt{m^2+1} 是自然数 kk，则

k2=m2+1⇒k2−m2=1⇒(k−m)(k+m)=1k^2=m^2+1\quad\Rightarrow\quad k^2-m^2=1\quad\Rightarrow\quad (k-m)(k+m)=1

两个正整数因子都为 1，只能 k−m=k+m=1k-m=k+m=1，推出 m=0m=0。而 m∈Nm\in\mathbf{N} 在现代教材中含 0，此时 0+1=1∈N\sqrt{0+1}=1\in\mathbf{N}。

所以 m=0m=0 时成立，原命题真，否定假。

（4）原命题：存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于 360∘360^\circ。

否定：任意四边形的内角和都等于 360∘360^\circ。

真假：四边形内角和恒为 (4−2)×180∘=360∘(4-2)\times180^\circ=360^\circ。原命题假，否定真。

答案

（1）否定：∃a∈R\exists a\in\mathbf{R}，x2−ax−1=0x^2-ax-1=0 无实根；原真否假。

（2）否定：存在一个正方形不是平行四边形；原真否假。

（3）否定：∀m∈N\forall m\in\mathbf{N}，m2+1∉N\sqrt{m^2+1}\notin\mathbf{N}；原真否假（m=0m=0 时 1=1∈N\sqrt{1}=1\in\mathbf{N}）。

（4）否定：任意四边形内角和都是 360∘360^\circ；原假否真。