椭圆焦点角与原点距离

$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{6}=1$。$a=3$，$b^2=6$，$c^2=3$，$c=\sqrt{3}$。

$F_1(-\sqrt{3},0)$，$F_2(\sqrt{3},0)$。

$\cos\angle F_1PF_2=\dfrac{3}{5}$，$\sin\angle F_1PF_2=\dfrac{4}{5}$。

$|PF_1|+|PF_2|=2a=6$。设 $|PF_1|=m$，$|PF_2|=n$，$m+n=6$。

$|F_1F_2|=2\sqrt{3}$。余弦定理：$4\cdot 3=m^2+n^2-2mn\cdot\dfrac{3}{5}$。

$12=m^2+n^2-\dfrac{6mn}{5}=(m+n)^2-2mn-\dfrac{6mn}{5}=36-\dfrac{16mn}{5}$

$\dfrac{16mn}{5}=24$，$mn=\dfrac{15}{2}$。

$|PO|^2$：$O$ 为原点，$|F_1O|=|F_2O|=\sqrt{3}$。

$|PO|^2=\dfrac{m^2+n^2}{2}-c^2=\dfrac{(m+n)^2-2mn}{2}-3=\dfrac{36-15}{2}-3=\dfrac{21}{2}-3=\dfrac{15}{2}-3=\dfrac{9}{2}$

$|PO|=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{18}}{2}$

检查选项：$\dfrac{\sqrt{30}}{2}$？$|PO|^2=\dfrac{30}{4}=7.5\neq 4.5$。$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\sqrt{4.5}$。

$\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx 2.739$，$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2.121$。

重新计算：$|PO|^2=\dfrac{|PF_1|^2+|PF_2|^2}{2}-|OF_1|^2=\dfrac{m^2+n^2}{2}-3$。

$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=36-15=21$。

$|PO|^2=\dfrac{21}{2}-3=\dfrac{15}{2}=\dfrac{15}{2}$

$|PO|=\sqrt{\dfrac{15}{2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$。

答案

选 B。$|PO|=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$。