线段垂直平分线的交点

分析：$\{P\mid PA=PB\}$ 是线段 AB 的垂直平分线，$\{P\mid PA=PC\}$ 是线段 AC 的垂直平分线，两者的交集就是两条垂直平分线的交点。

第一步：认识两个集合

到两个定点距离相等的点，落在这两点连段的垂直平分线上。

$$\{P\mid PA=PB\}\text{ 是 }AB\text{ 的垂直平分线}$$ $$\{P\mid PA=PC\}\text{ 是 }AC\text{ 的垂直平分线}$$

第二步：求交集

两条直线的交点只有一个。AB 与 AC 的垂直平分线交于一点，这个点到 A、B、C 三点的距离都相等。

$$\{P\mid PA=PB\}\cap\{P\mid PA=PC\}=\{P\mid PA=PB=PC\}$$

第三步：这个点是什么？

到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形外接圆的圆心，即外心。

答案

属于该交集的点是 $\triangle ABC$ 的外心（外接圆圆心）——即三边垂直平分线的交点，它满足 $PA=PB=PC$。

记忆：垂直平分线交于外心，角平分线交于内心，中线交于重心，高线交于垂心。