∫π每天一道数学题

四棱锥与三角形面积

⊥ 立体几何

四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为正方形，AB=4AB=4，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）

A. 222\sqrt{2}

B. 323\sqrt{2}

C. 424\sqrt{2}

D. 525\sqrt{2}

解析

P−ABCDP-ABCD，底面正方形 AB=4AB=4。PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45°\angle PCA=45°。

A=(−2,−2,0)A=(-2,-2,0)，B=(2,−2,0)B=(2,-2,0)，C=(2,2,0)C=(2,2,0)，D=(−2,2,0)D=(-2,2,0)。

P=(x,y,z)P=(x,y,z)。∣PC∣=3|PC|=3：(x−2)2+(y−2)2+z2=9(x-2)^2+(y-2)^2+z^2=9。∣PD∣=3|PD|=3：(x+2)2+(y−2)2+z2=9(x+2)^2+(y-2)^2+z^2=9。

两式相减：(x−2)2−(x+2)2=0(x-2)^2-(x+2)^2=0，−8x=0-8x=0，x=0x=0。

P=(0,y,z)P=(0,y,z)。4+(y−2)2+z2=94+(y-2)^2+z^2=9，(y−2)2+z2=5(y-2)^2+z^2=5。

PC→=(2,2−y,−z)\overrightarrow{PC}=(2,2-y,-z)，PA→=(−2,−2−y,−z)\overrightarrow{PA}=(-2,-2-y,-z)。

∠PCA=45°\angle PCA=45°，CP→=(−2,y−2,z)\overrightarrow{CP}=(-2,y-2,z)，CA→=(−4,−4,0)\overrightarrow{CA}=(-4,-4,0)。

cos⁡45°=CP→⋅CA→∣CP→∣∣CA→∣=8+4(y−2)3⋅42=8+4y−8122=4y122=y32\cos 45°=\dfrac{\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{CA}|}=\dfrac{8+4(y-2)}{3\cdot 4\sqrt{2}}=\dfrac{8+4y-8}{12\sqrt{2}}=\dfrac{4y}{12\sqrt{2}}=\dfrac{y}{3\sqrt{2}}

y32=22\dfrac{y}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，y=32⋅22=3y=\dfrac{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=3。

(3−2)2+z2=5(3-2)^2+z^2=5，1+z2=51+z^2=5，z2=4z^2=4，z=2z=2。

P=(0,3,2)P=(0,3,2)。

△PBC\triangle PBC：B=(2,−2,0)B=(2,-2,0)，C=(2,2,0)C=(2,2,0)，P=(0,3,2)P=(0,3,2)。

PB→=(2,−5,−2)\overrightarrow{PB}=(2,-5,-2)，PC→=(2,−1,−2)\overrightarrow{PC}=(2,-1,-2)。

S=12∣PB→×PC→∣S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{PB}\times\overrightarrow{PC}|

PB→×PC→=∣i⃗j⃗k⃗2−5−22−1−2∣=(10−2)i⃗+(−4+4)j⃗+(−2+10)k⃗=8i⃗+0j⃗+8k⃗\overrightarrow{PB}\times\overrightarrow{PC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-5&-2\\2&-1&-2\end{vmatrix}=(10-2)\vec{i}+(-4+4)\vec{j}+(-2+10)\vec{k}=8\vec{i}+0\vec{j}+8\vec{k}

∣cross∣=82|cross|=8\sqrt{2}。S=822=42S=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}。

答案

选 C。△PBC\triangle PBC 的面积为 424\sqrt{2}。