圆柱铁球

圆柱底面半径 $R=4$cm，高 $H=9$cm。两个等半径 $r$ 的铁球放入封闭圆柱。

两球并排放置时，球心连线水平，两球心距 $2r$。球心到圆柱侧壁的距离为 $R-r=4-r$，需两球并排不超出：球心在底面投影距圆心距离需满足 $\sqrt{(4-r)^2+(4-r)^2}\geq r$... 更准确分析：

两球沿直径方向并排：球心距 $2r$，两球心到轴线距离均为 $r$（贴壁），需 $2r\leq 2R=8$，即 $r\leq 4$。

高度方向：两球叠放时需 $4r\leq H=9$，$r\leq 9/4=2.25$。但两球可沿水平方向并排放置。

水平并排：两球球心在同一水平面，球心距 $2r$。球心到圆柱侧壁距离需 $r\leq R=4$。球心高度 $r$（底部），总高度 $2r\leq 9$。

但两球可以斜放：球心连线与水平面成角 $\theta$。球心距 $2r$，水平分量 $2r\cos\theta$，竖直分量 $2r\sin\theta$。需 $2r\cos\theta\leq 2\sqrt{R^2-r^2}$（在横截面内两球不碰壁）且 $2r\sin\theta+2r\leq H$（总高度含球径）。

最大化 $r$：需 $r\cos\theta\leq\sqrt{16-r^2}$ 且 $r(\sin\theta+1)\leq 4.5$。

当 $\theta=0$（水平）：$r\leq\sqrt{16-r^2}$，$2r^2\leq 16$，$r\leq 2\sqrt{2}\approx 2.83$。$2r\leq 9$，$r\leq 4.5$。约束 $r\leq 2\sqrt{2}$。

当 $\theta=\pi/2$（竖直叠放）：$2r\leq 8$，$4r\leq 9$，$r\leq 2.25$。约束 $r\leq 2.25$。

取最优 $\theta$：$r\cos\theta=\sqrt{16-r^2}$ 且 $r(1+\sin\theta)=4.5$。

设 $r=3$：$\cos\theta=\sqrt{7}/3$，$\sin\theta=\sqrt{2}/3$。$r(1+\sin\theta)=3(1+\sqrt{2}/3)=3+\sqrt{2}\approx 4.41\leq 4.5$。$3\cdot\sqrt{7}/3=\sqrt{7}\approx 2.65$，$\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.65$。恰好满足！

验证 $r=3$：两球心距 $6$，水平分量 $2\sqrt{7}$，竖直分量 $2\sqrt{2}$。总高度 $2\sqrt{2}+6\leq 9$，$2\sqrt{2}\approx 2.83$，$2.83+6=8.83\leq 9$。$\checkmark$

能否更大？$r=3.01$：$r(1+\sin\theta)=4.5$，$\sin\theta=4.5/3.01-1\approx 0.495$。$\cos\theta\approx 0.869$。$r\cos\theta\approx 2.61$，$\sqrt{16-r^2}\approx\sqrt{16-9.06}\approx 2.635$。$2.61<2.635$ 满足。但 $r(1+\sin\theta)=4.5$，$r=3.01$，$\sin\theta=0.495$，$\cos\theta=0.869$，$r\cos\theta=2.61<2.635$。

继续增大 $r$：$r=3.05$，$\sin\theta=4.5/3.05-1=0.475$，$\cos\theta=0.880$，$r\cos\theta=2.684$，$\sqrt{16-9.30}=\sqrt{6.70}=2.588$。$2.684>2.588$，不满足！

故 $r$ 的最大值约为 $3$。

答案

铁球半径最大值为 $3$ cm。