∫π每天一道数学题
#41
  1. (1) 求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x 在区间 [0,π4]\left[0,\frac{\pi}{4}\right] 的最大值;

(2) 给定 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi) 和 a∈Ra\in\mathbf{R}, 证明: 存在 y∈[a−θ,a+θ]y\in[a-\theta,a+\theta] 使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y\leq\cos\theta;

(3) 设 b∈Rb\in\mathbf{R}, 若存在 φ∈R\varphi\in\mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leq b 对 x∈Rx\in\mathbf{R} 恒成立, 求 bb 的最小值。

参考解析

(1) f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x.

f′(x)=−5sin⁡x+5sin⁡5x=5(sin⁡5x−sin⁡x)f'(x)=-5\sin x+5\sin 5x=5(\sin 5x-\sin x).

由 sin⁡5x−sin⁡x=2cos⁡3xsin⁡2x\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x, 当 x∈[0,π4]x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right] 时 cos⁡3x\cos 3x 和 sin⁡2x\sin 2x 的符号变化.

寻找关键点: f′(x)=0f'(x)=0, sin⁡5x=sin⁡x\sin 5x=\sin x 或 cos⁡3x=0\cos 3x=0 或 sin⁡2x=0\sin 2x=0.

答案: 最大值为 5cos⁡π6−cos⁡5π6=532+32=335\cos\frac{\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

(2) 取 y=ay=a, cos⁡a≤cos⁡θ\cos a\leq\cos\theta... 需要分析 θ\theta 和 aa 的关系.

(3) bb 的最小值为 66, 即 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤65\cos x-\cos(5x+\varphi)\leq 6 恒成立时 b=6b=6.

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