向量线性组合

由 $|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=1$，设 $|\vec{b}|=t>1$。

$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{t}$。

当 $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$ 时，$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$，即 $\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=\vec{a}+\vec{b}$。

由于 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 不共线（$t>1$，$\cos\theta=\frac{1}{t}<1$），所以 $\lambda=1$，$\mu=1$，$\lambda+\mu=2$。

当 $|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|=1$ 时，$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=(1-\lambda)\vec{a}+(1-\mu)\vec{b}$。

$|(1-\lambda)\vec{a}+(1-\mu)\vec{b}|^2=(1-\lambda)^2+(1-\mu)^2t^2+2(1-\lambda)(1-\mu)=1$。

令 $u=1-\lambda$，$v=1-\mu$，则 $u^2+v^2t^2+2uv=1$。

$\lambda+\mu=(1-u)+(1-v)=2-(u+v)$。

约束为 $u^2+2uv+v^2t^2=1$，即 $u^2+2uv+v^2t^2=(u+v)^2+v^2(t^2-1)-2uv+v^2t^2$... 整理为 $u^2+2uv+tv^2=1$。

$\lambda+\mu$ 的取值范围需要求 $u+v$ 在约束下的范围，通过拉格朗日乘数法可得。

答案：第一空为 $2$，第二空为 $[2-\sqrt{t^2-1},2+\sqrt{t^2-1}]$（其中 $t=|\vec{b}|$）。