综合应用与拓展

从一个观察开始

第 9 讲提到，古代数学从问题出发，课本按体系编排。本讲做一次反向操作：拿《周髀算经》时代就成熟的三个工具，处理今天的实际问题。

三道例题：

1. 直角边 5 和 12，求斜边
2. 杆高 8 尺影长 6 尺，树影 30 尺，求树高
3. 圆心角 $60°$、半径 6 的扇形，求面积与弧长

它们看起来是三类不相干的问题。 但解法背后是同一个思路：把陌生的归约成熟悉的。 第 1 讲谈勾股定理、第 2 讲谈测日高、第 7 讲谈圆的计算，本讲把三种思路放在一起，看它们如何协同。

示意图

综合应用——勾股定理、相似三角形、圆的计算，三种方法融会贯通。

例题一：勾股定理

一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，求斜边长。

由勾股定理：

$$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

答案是 $c = 13$。

这是最经典的勾股数组。 3-4-5、5-12-13、8-15-17，都是整数解。古代没有无理数概念（至少没有系统的理论），这类整数解是他们最熟悉的——一个直角三角形的三边全是整数，意味着可以直接用筹算处理。

现代视角：古埃及、巴比伦、中国、印度都独立发现了这组关系。勾股数组的构造有完整的公式（$m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2$），远在毕达哥拉斯之前就为人所知。这个定理是跨文明共享的数学直觉。

例题二：相似三角形

一根 8 尺长的杆子，影长 6 尺。同一时刻，一棵树的影长 30 尺。求树高。

同一时刻、同一地点，太阳光线方向相同，杆和树各自与影子构成相似三角形：

$$\frac{H}{8} = \frac{30}{6}$$

得

$$H = \frac{8 \times 30}{6} = 40\ \text{尺}$$

答案是 $H = 40$ 尺。

「同一时刻」三个字是解题的前提。 太阳位置变了，光线方向就变，相似关系失效。这是第 2 讲测日高模型的关键假设，本题是它的缩小版。

换个单位也一样：若影长用米，$H:8 = 30:6$ 的比例不变。相似三角形的结论与单位无关——这是比例方法的核心优势。

例题三：圆与扇形

一个扇形的圆心角为 $60°$，半径为 6。求扇形的面积和弧长。

扇形面积：

$$S = \frac{60°}{360°} \times \pi \times 6^2 = \frac{1}{6} \times 36\pi = 6\pi$$

弧长：

$$l = \frac{60°}{360°} \times 2\pi \times 6 = \frac{1}{6} \times 12\pi = 2\pi$$

面积是 $6\pi$，弧长是 $2\pi$。

这里用的是「比例法」。 $60°$ 是整圆的六分之一，所以扇形是整圆的六分之一——面积和弧长都按同一比例切。古人立「周天一岁三百六十五度四分度之一」，把圆周分成度数来度量，正是这个思路。

弧度制下的对照：$60° = \dfrac{\pi}{3}$ 弧度。用弧度表示的扇形公式是

$$S = \frac{1}{2}\alpha r^2$$

代入 $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$、$r = 6$：

$$S = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{3} \times 36 = 6\pi$$

与角度制结果一致。弧度制下公式少了那个 $\dfrac{360°}{360°}$ 的前缀，这就是第 1 讲讲弧度制的原因。

三道题的共同点

例题	用到的工具	归约的方向
一	勾股定理	直角三角形 → 边长关系
二	相似三角形	树与杆 → 相似形比例
三	扇形比例	扇形 → 整圆的几分之几

三个工具都在做同一件事：把不熟的变成熟的。 直角三角形的斜边、树的高度、扇形的面积，都不是直接给出的量；但都有办法折算成已知的。

这就是数学建模的朴素形态。 古人没有「建模」这个词，但他们一代代做的就是这件事——观察现实、抽取出形状、套用已知。

细看这三道题，会发现它们对应三种不同的「归约」。

例题一是「形内归约」。 斜边不在题面里，但它和两条直角边同处一个三角形中——只要承认勾股定理，斜边就被这两条边完全决定。归约发生在图形内部，不需要外部参照。

例题二是「形间归约」。 树高不可能从树本身量出来，必须引入另一根杆，靠「同时同地的太阳」把两个本不相干的物体绑定成相似形。归约发生在两个物体之间，前提是找到一个共同的约束条件。

例题三是「整体归约」。 扇形是圆的一部分，它的面积与弧长都按同一个比例从整圆切下来。归约的参照物不是另一个物体，而是包含它的整体。

这三种归约在高中数学里反复出现。 解三角形用的是形内归约，测量与物理题多用形间归约，而概率里的「占整体的比例」正是整体归约。看清一道题属于哪种归约，往往比算出答案更有用。

如果换一种思路

三道题都有第二种解法，值得摆在旁边对照。

例题一用三角函数：若已知一个锐角与一条边，可用正弦或余弦直接求斜边，不必开方。勾股定理给的是「边与边」的关系，三角函数给的是「角与边」的关系。

例题二用三角函数：若知道太阳高度角 $\theta$ 与影长 $l$，则 $H = l\tan\theta$。相似三角形法不需要知道角度，三角函数法不需要第二根杆——工具的选择取决于你手上有什么数据。

例题三用弧度制：以弧度表示的扇形公式 $S = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$ 一步出答案，省掉「除以三百六十」的动作。本讲第 1 讲讲过弧度制的意义，这里正好用它。

一个值得注意的模式：三种工具都能解同一道题，但它们的前提一组比一组弱。数学工具的进步，常常表现为前提越来越少、适用范围越来越大。

在高中数学体系里的位置

《周髀算经》中的问题，涵盖了初中和高中的主要内容：勾股定理、相似三角形、圆的计算。这些都是高考的必考内容。

从考试角度，这三类工具在高中的应用形态：

• 勾股定理：解三角形、求距离、立体几何中的底面计算
• 相似三角形：几何证明、比例线段、光学与测量题
• 扇形与圆：解析几何、平面几何综合题、物理中的圆周运动

从思想角度，本讲的「归约」思路适用于所有章节：遇到新问题，先问「它像哪个我已经会的问题」。

一个收尾的对照

把《周髀算经》的三道题和今天的高考题型并排放，能看到一条清晰的线。

《周髀算经》	今天的高中	数学内核
勾三股四弦五	解三角形、立体几何求距离	直角三角形边关系
立表测影求日高	相似形、解三角形应用题	比例关系
七衡六间的圆周	扇形弧长面积、三角函数	圆周与角的度量

工具在升级，内核没变。 《周髀算经》时代的算家处理的是具体田地、影长、圆周；今天的学生处理的是抽象模型，但用的是同一种数学。

这也解释了为什么这些经典值得读。 不是为了「今年考了」，而是因为在这些最原始的应用里，数学工具的来历看得最清楚——比课本上直接给出公式更容易理解「为什么需要它」。

思考与拓展

1. 如果例题1中斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。
2. 如果例题2中杆子影长为6米（不是尺），树影为30米，求树高。
3. 如果例题3中圆心角为 $\alpha$（弧度），半径为 $r$，推导扇形面积公式 $S = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$。
4. 思考题：综合本讲三题，设计一道同时用到勾股定理和相似三角形的题（提示：先构造一个直角三角形，再让它投下影子）。
5. 思考题：一棵树的影子长 15 米，同时一根 2 米高的杆影长 3 米，求树高。若改用勾股定理（已知太阳仰角 $30°$），结果一样吗？两种方法的前提有何不同？
6. 思考题：查查看「重差术」是怎么用两次测量消去不可达距离的，并尝试用本节方法自己推导一遍。

一句话总结

周髀算经的综合应用——勾股定理、相似三角形、圆的计算，三种方法解决实际问题；而三种方法背后是同一个思路：把陌生的归约成熟悉的。