第1讲 勾股定理的最早记载——「勾三股四弦五」

原典

周公问曰：「窃闻善数者也。包牺立天地立周历，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数从出？」

商高曰：「数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。

故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。」

——《周髀算经》卷上

这段话说的是什么

商高告诉周公：数学的方法来源于对圆形和矩形的测量。圆形来源于方形（割圆术），方形来源于矩尺（直角），矩尺的度量来源于乘法口诀（九九八十一）。

把矩尺折成弧形，使得短边（勾）长为3，长边（股）长为4，那么斜边（弦）长就是5。

这就是勾股定理（毕达哥拉斯定理）在中国数学典籍中的最早记载。

示意图

勾三股四弦5——勾3、股4、弦5构成一个直角三角形，面积 = $\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$。

古人的认识

$3^2 + 4^2 = 5^2$（即 $9 + 16 = 25$），这是一个特殊的直角三角形。

中国古代数学的特点：从特例出发，逐步推广。先给出「勾三股四弦5」这个特例，然后逐步推广到一般情况。

现代数学视角

勾股定理的一般形式：在直角三角形中，若两条直角边为 $a, b$，斜边为 $c$，则：

这个定理在初中数学中是必考内容，也是高中解三角形、解析几何的基础。

推广：如果 $a^2 + b^2 = c$，则以 $a, b, c$ 为三边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：勾股定理是连接几何与代数的桥梁。它是余弦定理的特例（$\cos 90° = 0$），也是两点间距离公式的基础。

运算练兵场：利用勾股定理求线段长度、判断三角形形状。

综合题常客：在解析几何中，两点间距离公式 $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ 本质上是勾股定理。

思考与拓展

1. 证明勾股定理：用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形。
2. 如果三角形的三边长分别为 $a, b, c$，且满足 $a^2 + b^2 = c^2$，这个三角形一定是直角三角形吗？证明你的结论。
3. 在空间直角坐标系中，求点 $P(1,2,3)$ 到原点 $O(0,0,0)$ 的距离。

一句话总结

「勾广三，股修四，径隅五」——这是中国数学对勾股定理的最早记载，比西方早了五百多年。