第12讲 综合应用

综合例题

例题1（不定方程 + 约束）

某学校购买图书和文具共花费2000元。图书每本50元，文具每套30元。要求购买总数不少于50件，图书不少于20本。问共有几种购买方案？哪种方案总件数最多？

例题2（等差数列 + 实际应用）

某学生每天背单词，第一天背10个，以后每天比前一天多背2个。问：（1）第30天背多少个？（2）30天共背多少个？

例题3（测量问题）

如图，小明想测量一棵树的高度。他在树旁立了一根2米的杆子，测得杆子影子长1.5米，树的影子长6米。求树的高度。

示意图

综合应用——张丘建算经的核心方法：不定方程、等差数列、比例分配、相似三角形。

解法

例题1解法

设图书 $x$ 本，文具 $y$ 套，则：

化简：$5x + 3y = 200$，得 $y = \dfrac{200 - 5x}{3}$。

要求 $y$ 为非负整数，$x$ 必须满足 $200 - 5x \equiv 0 \pmod{3}$，即 $x \equiv 1 \pmod{3}$。

设 $x = 3k + 1$（$k$ 为非负整数），则 $y = \dfrac{200 - 5(3k+1)}{3} = 65 - 5k$。

约束条件：$y \ge 0 \Rightarrow k \le 13$；$x \ge 20 \Rightarrow k \ge 7$。

因此 $k = 7, 8, \ldots, 13$，共7种方案。

总件数 $x + y = (3k+1) + (65-5k) = 66 - 2k$，当 $k = 7$ 时最大，为52件。

例题2解法

（1）第30天背：$a_{30} = 10 + 29 \times 2 = 68$ 个。

（2）30天共背：$S_{30} = \dfrac{30(10 + 68)}{2} = 1170$ 个。

例题3解法

由相似三角形：$\dfrac{\text{树高}}{6} = \dfrac{2}{1.5}$，得树高 = $\dfrac{2 \times 6}{1.5} = 8$ 米。

在高中数学体系里的位置

综合应用是检验学习效果的最佳方式。张丘建算经中的问题，涵盖了高中代数和几何的主要内容。

思考与拓展

1. 如果例题1中图书和文具的价格都上涨10%，购买方案会改变吗？
2. 如果例题2中"每天比前一天多背2个"改为"每天背的是前一天的1.1倍"，求30天共背多少个？
3. 如果例题3中杆子影子长1.5米，树的影子长6米，但杆子倾斜了（与地面成60°角），求树高。

一句话总结

张丘建算经的综合应用——不定方程、等差数列、相似三角形，三种方法融会贯通，解决实际问题。