第10讲 测量问题中的相似三角形

原典

今有邑方二百步，各中开门。出东门十五步有木，出南门几何步而见木？

答曰：六百六十六步大半步。

术曰：出东门步数为法，半邑方为实，实如法得一步。

这道题说的是什么

这是一道利用相似三角形测量距离的问题。城门是正方形，边长200步，出东门15步有一棵树，问从南门出去走多远能看到树。

示意图

邑方测望——城门是正方形，出东门15步有木，出南门 $x$ 步而见木。视线经过城墙的转角，构成相似三角形。

古人的算法

设南门到木头的距离为 $x$ 步，半邑方为100步（城宽的一半）。

由相似三角形（视线、城墙边、出城门步数构成的两个相似三角形）：

解释：半邑方（100步）与出东门步数（15步）之比，等于出南门步数与另一段距离之比。

现代数学视角

相似三角形的判定和性质：

判定：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）。

性质：对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

在测量问题中，关键是构造相似三角形。基本步骤：

1. 确定要测量的量；
2. 构造含有待测量的相似三角形；
3. 利用对应边成比例列方程；
4. 求解方程。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：相似三角形体现了化归思想——把不可直接测量的量转化为可测量的量。这种思想贯穿整个测量学。

运算练兵场：相似三角形的比例运算、解直角三角形的计算。

高考地位：解三角形是高考必考内容（大题第17题），相似三角形常与实际测量、几何证明结合。

思考与拓展

1. 如果木头不在正东方向，而在东偏北30°方向，算法需要改变吗？
2. 用相似三角形设计一个测量河流宽度的方案。
3. 证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

一句话总结

相似三角形是测量的数学基础——古代的重差术、今天的激光测底，原理都一样。