第7讲 向量的应用二——用向量解决立体几何问题

从一个朴素的问题开始

给你一个正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$，让你求异面直线 $A_1B$ 和 $B_1C$ 所成的角。

传统几何法：需要平移其中一条直线，使它们相交，然后在三角形中用余弦定理计算……平移哪个方向？平移多少？辅助线怎么画？每一步都需要一点空间想象力。

向量法呢？建系 → 写出两个方向向量的坐标 → 用数量积公式算夹角余弦 → 出结果。整个过程不需要画任何辅助线。

这就是空间向量法的威力——它把"想象"变成了"计算"。

平面的法向量

什么是法向量

垂直于平面 $\alpha$ 的向量，叫做平面 $\alpha$ 的法向量。

一个平面有无数个法向量——它们都互相平行（共线），只是长度不同。通常我们只需要找一个非零的法向量就够了。

如何求法向量

给定平面内的两个不共线向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，设法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，则：

$$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \quad \text{且} \quad \vec{n} \cdot \vec{b} = 0$$

即：

$$\begin{cases} x_1 x + y_1 y + z_1 z = 0 \\ x_2 x + y_2 y + z_2 z = 0 \end{cases}$$

这是一个齐次线性方程组，有三个未知数但只有两个方程，所以有无穷多组解——我们只需要找一组非零解。

实用技巧：令其中一个变量为 1（或任意非零常数），解出另外两个变量。如果某个系数为零导致无解，就换另一个变量。

口诀：两个方程消一个，剩下两个解出来。

示例

已知平面内两点 $A(1, 0, 0)$、$B(0, 1, 0)$、$C(0, 0, 1)$，求平面 $ABC$ 的一个法向量。

解：$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)$，$\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1)$。

设 $\vec{n} = (x, y, z)$，则：

$$\begin{cases} -x + y = 0 \\ -x + z = 0 \end{cases}$$

解得 $y = x$，$z = x$。令 $x = 1$，得 $\vec{n} = (1, 1, 1)$。

验证：$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -1 + 1 + 0 = 0$，$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -1 + 0 + 1 = 0$。正确！

示意图

法向量 $\vec{n}$ 垂直于平面；二面角的大小等于两个平面法向量夹角的补角或本身

用向量证明平行与垂直

线线平行

直线 $l_1$ 的方向向量 $\vec{v_1}$ 与直线 $l_2$ 的方向向量 $\vec{v_2}$ 共线（$\vec{v_2} = \lambda \vec{v_1}$），则 $l_1 \parallel l_2$。

线面平行

直线 $l$ 的方向向量 $\vec{v}$ 与平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}$ 垂直（$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$），且 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内，则 $l \parallel \alpha$。

或者：直线 $l$ 的方向向量 $\vec{v}$ 可以由平面 $\alpha$ 内两个不共线向量线性表示（$\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$），则 $l \parallel \alpha$ 或 $l \subset \alpha$。

面面平行

两个平面的法向量平行（$\vec{n_1} = \lambda \vec{n_2}$），则这两个平面平行。

线线垂直

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$。

线面垂直

直线的方向向量 $\vec{v}$ 与平面的法向量 $\vec{n}$ 平行（$\vec{v} = \lambda \vec{n}$），则直线垂直于平面。

面面垂直

两个平面的法向量垂直（$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$），则这两个平面垂直。

用向量求角

线线角

设两直线的方向向量分别为 $\vec{v_1}, \vec{v_2}$，夹角为 $\theta$，则：

$$\cos\theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} \qquad (7.1)$$

注意取绝对值——线线角的范围是 $[0, \frac{\pi}{2}]$，永远取锐角或直角。

线面角

设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$，则：

$$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} \qquad (7.2)$$

注意这里是正弦而不是余弦！因为线面角 $\theta$ 与向量夹角 $\langle \vec{v}, \vec{n} \rangle$ 互余（或相差 $\pi$）。

记忆方法：线面角是直线和它在平面上的投影之间的角，等于 $90° -$（直线与法向量的夹角）。所以用正弦。

二面角

设两个平面的法向量分别为 $\vec{n_1}, \vec{n_2}$，二面角为 $\theta$，则：

$$\cos\theta = \pm \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \qquad (7.3)$$

符号需要根据图形判断：二面角可以是锐角也可以是钝角，取决于两个平面的相对位置。在高考中，通常需要结合图形判断是取正还是取负。

技巧：先算出 $\cos\langle \vec{n_1}, \vec{n_2} \rangle$，再根据二面角的实际形状决定符号。如果题目没有特别说明，通常取锐角（正值）。

用向量求距离

点到平面的距离

已知点 $P$ 和平面 $\alpha$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，$A$ 是平面 $\alpha$ 上任意一点，则点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为：

$$d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \qquad (7.4)$$

几何意义：$\overrightarrow{AP}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影长度就是距离。分子是投影的绝对值，分母是法向量的模，正好除出来。

异面直线之间的距离

异面直线 $l_1, l_2$ 的方向向量分别为 $\vec{v_1}, \vec{v_2}$，公垂线的方向向量为 $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$（叉积，高中阶段一般不要求掌握），则距离为：

$$d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

其中 $A \in l_1$，$B \in l_2$。高中阶段通常不考这个，了解即可。

例题：正方体中的空间向量

例：在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为 1，求： （1）异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成角的余弦值； （2）直线 $A_1B$ 与平面 $B_1D_1C$ 所成角的正弦值。

解：建立空间直角坐标系，以 $D$ 为原点：

$D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$C(0,1,0)$，$D_1(0,0,1)$，$A_1(1,0,1)$，$B_1(1,1,1)$，$C_1(0,1,1)$

（1）$\overrightarrow{A_1B} = (0, 1, -1)$，$\overrightarrow{B_1C} = (-1, 0, -1)$

$$\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{A_1B} \cdot \overrightarrow{B_1C}|}{|\overrightarrow{A_1B}| \cdot |\overrightarrow{B_1C}|} = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

所以异面直线所成角为 $60°$。

（2）平面 $B_1D_1C$ 的法向量：$\overrightarrow{D_1B_1} = (1, 1, 0)$，$\overrightarrow{D_1C} = (0, 1, -1)$。

设 $\vec{n} = (x, y, z)$，则 $\begin{cases} x + y = 0 \ y - z = 0 \end{cases}$，取 $y = 1$，得 $\vec{n} = (-1, 1, 1)$。

$$\sin\theta = \frac{|\overrightarrow{A_1B} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{A_1B}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|0 + 1 - 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0$$

等等——结果是 0？说明 $\overrightarrow{A_1B}$ 与法向量垂直，即直线平行于平面或在平面内。验证：$A_1(1,0,1)$ 不在平面 $B_1D_1C$ 上（可以代入验证），所以 $A_1B \parallel$ 平面 $B_1D_1C$。

（注：这道题的计算结果恰好说明 $A_1B$ 平行于平面 $B_1D_1C$，线面角为 0。）

向量法的优势与局限

优势

1. 程序化：建系 → 写坐标 → 套公式 → 出结果，套路固定
2. 统一：平行、垂直、角度、距离，一套工具全部搞定
3. 保底：即使几何法想不出来，向量法也能给出答案

局限

1. 建系麻烦：不是所有几何体都能方便建系，选错原点会大幅增加计算量
2. 计算量大：三个分量意味着更多的乘法，容易算错
3. 法向量求解：有时解方程组比较繁琐

在高中数学体系里的位置

空间向量法彻底改变了立体几何的解题格局。

与传统立体几何的关系：传统方法依赖空间想象力和辅助线技巧，向量法把一切转化为坐标运算。高考中，传统法和向量法都是允许的，但向量法往往是更稳妥的选择。

和解析几何的关系：空间向量的思想与解析几何一脉相承——都是用坐标描述几何对象，用代数运算解决几何问题。只不过解析几何处理的是二维平面上的曲线，向量法处理的是三维空间中的面和体。

高考地位：空间向量是高考立体几何大题的核心工具。大多数省份的立体几何第二问（求角、求距离）都推荐或允许用空间向量法解答。掌握向量法，立体几何部分基本可以稳拿满分。

易错点：

1. 建系后坐标写错——特别是 $z$ 坐标漏掉
2. 法向量求解时方程列错——$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$，不是 $\vec{n} + \vec{a} = 0$
3. 线面角公式记成余弦——记住是正弦
4. 二面角符号判断错误——需要结合图形确定取正还是取负
5. 点到平面距离公式用错——分子是 $|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|$，不是 $|\overrightarrow{AP}|$

思考与拓展

1. 在正四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，求异面直线 $AE$ 与 $CD$ 所成角的余弦值。（提示：建立空间直角坐标系，利用正四面体的对称性）
2. 已知平面 $\alpha$ 过点 $P(1, 2, 3)$，法向量为 $\vec{n} = (2, -1, 3)$，求点 $Q(0, 1, 2)$ 到平面 $\alpha$ 的距离。
3. 在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 3$，$AD = 4$，$AA_1 = 5$，求对角线 $AC_1$ 与底面 $ABCD$ 所成角的正弦值。
4. 为什么线面角的公式用的是正弦而不是余弦？试着从几何意义上解释。

一句话总结

空间向量法是立体几何的"万能钥匙"：建系写坐标、求法向量、套公式算角距——把空间想象变成代数计算。