第4讲 平面向量的数量积——从投影到点乘

从一个朴素的问题开始

你用力推一辆车，力的方向和车的运动方向不完全一致——你斜着往前推，和水平向前推，效果一样吗？

不一样。斜着推的时候，一部分力用来前进，另一部分力只是把车往下压。真正有用的，是力在运动方向上的分量。

这个「有用的分量」是多少？就是力的大小乘以运动方向单位向量的投影长度。换句话说，就是力和位移的数量积。

物理老师说：功 = 力 × 位移 × cos(夹角)，也就是 $W = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos\theta$。这个公式看起来很熟悉——它就是向量数量积的定义。

数量积的定义

已知两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角为 $\theta$（$0 \le \theta \le \pi$），我们把 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$ 叫做 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的数量积（也叫点积），记作：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta \qquad (4.1)$$

注意：结果是一个数量（标量），不是一个向量！所以叫「数量积」或「点积」——运算符号用中间的点 $\cdot$，而不是叉乘的 $\times$。

这里需要澄清一个容易混淆的地方：向量的夹角 $\theta$ 是多少？

把两个向量的起点移到同一点，它们之间的夹角就是数量积中的 $\theta$。注意是 $[0, \pi]$ 范围内的角，不是两条直线之间的小于等于 $\frac{\pi}{2}$ 的角。

示意图

几何意义：投影

数量积最重要的几何解释是投影。

$|\vec{b}| \cos\theta$ 正好是 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影长度（也叫投影标量）——它是 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的分量大小，带有正负号。

具体地：

• 当 $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos\theta > 0$，投影长度为正，数量积为正
• 当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos\theta = 0$，投影长度为 0，数量积为 0
• 当 $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$ 时，$\cos\theta < 0$，投影长度为负，数量积为负

所以数量积可以理解为：一个向量在另一个向量方向上的投影，乘以另一个向量的长度。

记一句口诀：数量积 = 投影 × 长度。

坐标表示

既然我们已经会用坐标表示向量了，那数量积能不能也用坐标来表示？当然可以。

设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，那么：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \qquad (4.2)$$

数量积 = 对应坐标乘积之和。

这个公式怎么来的？用基底分解来推一下——设 $\vec{a} = x_1 \boldsymbol{i} + y_1 \boldsymbol{j}$，$\vec{b} = x_2 \boldsymbol{i} + y_2 \boldsymbol{j}$，展开：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1 \boldsymbol{i} + y_1 \boldsymbol{j}) \cdot (x_2 \boldsymbol{i} + y_2 \boldsymbol{j}) = x_1 x_2 \underbrace{\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}}_{1} + x_1 y_2 \underbrace{\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}}_{0} + y_1 x_2 \underbrace{\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{i}}_{0} + y_1 y_2 \underbrace{\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j}}_{1} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

其中用到了 $\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} = 1$、$\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j} = 1$、$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} = 0$（互相垂直的单位向量点乘为零）。

两个公式对比：

公式	形式	适用场景
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vert\vec{a}\vert \cdot \vert\vec{b}\vert \cdot \cos\theta$	定义式	已知模和夹角
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$	坐标式	已知坐标

运算律

数量积满足以下运算律：

1. 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ 这是显然的——$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = |\vec{b}||\vec{a}|\cos\theta$，而且 $\theta$ 和 $-\theta$ 的余弦值相等。

2. 结合实数律：$(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})$ 数乘因子可以提到点乘外面。

3. 分配律：$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ 这个分配律需要验证，但用坐标法可以很快证明：两边都是 $a_x c_x + a_y c_y + b_x c_x + b_y c_y$。

需要特别注意：数量积不满足消去律！ 也就是说，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ 不能推出 $\vec{b} = \vec{c}$。为什么？因为 $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ 只说明 $\vec{a}$ 垂直于 $\vec{b} - \vec{c}$，并不代表 $\vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$。

向量夹角公式

由定义式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$，我们可以反解出 $\cos\theta$：

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \qquad (4.3)$$

用坐标代入：

$$\cos\theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} \qquad (4.4)$$

有了这个公式，我们就可以用向量来求两条直线的夹角了——这在立体几何里特别有用。

记忆技巧：分子是两个向量的「对应坐标乘积之和」，分母是两个向量的「模之积」。这就是余弦定理的向量版本。

垂直的充要条件

由夹角公式可知：$\vec{a} \perp \vec{b}$ 当且仅当 $\cos\theta = 0$，当且仅当 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \qquad (4.5)$$

这是向量数量积最重要的应用之一——用代数方法判定垂直。

在解析几何中，判定两条直线垂直，传统方法是「斜率乘积等于 $-1$」，但这个方法在一条直线斜率不存在时失效。用向量的垂直条件就没有这个问题——只需要看坐标乘积之和是否为零。

重要提醒：数量积为零，不一定意味着两个向量都为零向量。只要它们互相垂直，点乘就是零。零向量和任何向量的点乘也为零，但在讨论垂直时，我们通常默认讨论的是非零向量。

深入理解

数量积与投影的关系

数量积的几何本质就是投影。设 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $\vec{b}_a$，则：

$$\vec{b}_a = (|\vec{b}| \cos\theta) \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot (|\vec{b}| \cos\theta)$，即 $\vec{a}$ 的模乘以 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影长度。投影长度带正负号，所以数量积也有正负。

这个「投影」视角在后续学习中非常有用——比如在力做功、电场强度通量等问题中，本质上都是计算投影。

数量积的符号判断

已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$：

• $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \iff 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$，夹角为锐角
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \theta = \frac{\pi}{2}$，两向量垂直
• $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \iff \frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$，夹角为钝角

记住这个对应关系，可以帮你快速判断角的类型。

模的平方

有一个很有用的变形公式：

$$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \qquad (4.6)$$

用坐标表示就是 $|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2$。这个公式在计算向量模长时非常方便——特别是处理「$|\vec{a}| = |\vec{b}|$」这类条件时，两边平方就能去掉根号。

在高中数学体系里的位置

数量积是向量专题的核心内容之一，它承上启下：

与线性运算的关系：数量积是一种新的向量运算，不同于加法、减法和数乘——它把两个向量变成一个数量，这是以前没接触过的运算类型。

与三角函数的关系：数量积公式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 直接涉及余弦函数，用它推导和差角公式非常简洁。

与解析几何的关系：垂直判定、夹角计算、距离公式都可以用量积来处理，是解析几何的有力工具。

高考地位：数量积是高考的必考内容，每年至少一道大题，通常出现在解三角形或解析几何综合题中。需要熟练掌握坐标运算、夹角公式、垂直条件这三个工具。

易错点：

1. 数量积是数量不是向量，结果没有方向
2. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 推出的是垂直，不是其中一个为零向量
3. 不满足消去律，不能从 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ 推出 $\vec{b} = \vec{c}$
4. 夹角 $\theta$ 的范围是 $[0, \pi]$，不是 $[0, \frac{\pi}{2}]$

思考与拓展

1. 已知 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (1, -2)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$、$|\vec{a}|$、$\cos\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$。
2. 已知 $\vec{a} = (2, 1)$，$\vec{b} = (x, 3)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，求 $x$ 的值。
3. 证明：$(\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$（这里 $\vec{v}^2$ 表示 $\vec{v} \cdot \vec{v}$）。
4. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (-2, 1)$，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量和投影长度。

一句话总结

数量积是把两个向量变成数量的运算：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，几何意义是投影乘以长度，坐标公式是 $x_1 x_2 + y_1 y_2$，垂直的充要条件就是点乘为零。