月离推算——月球位置的数学

原典

問嵗星合伏經一十六日九十分行三度九十分去曰一十三度乃見後順行一百一十三日一十十七度八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率末行率平行率各幾何

按此以兩積曰之遞差積度求各行率也蓋合伏初日其行最疾以次漸遲遲極則留總其積度略如遞減差分故古法皆以其術步之

答曰合伏一十六日九十分，常度三度九十度，初行率二十三分九十七杪，平行率二十三分二杪，末行率二十二分七杪

——秦九韶《数书九章》天时类第七题

这道题说的是什么

中国古代把行星运动分为几个阶段：

• 合：行星与太阳同方向（不可见）
• 伏：行星接近合的位置，运动似乎停止
• 经：行星经过合后的位置
• 见：行星重新可见
• 顺行：行星正常向东移动
• 留：行星似乎停止
• 逆行：行星向西移动
• 复顺：行星恢复顺行

本题研究岁星（木星）在合伏阶段的运动。已知：

• 合伏阶段：16日90分（即16.9日），行3度90分（即3.9度）
• 见后顺行：113日17分，行17度83分

要求：合伏阶段的初行率、末行率、平行率。

示意图

岁星合伏阶段：从最疾到最迟，日行度递减，近似等差数列。

古人的算法

第一步：求日差

秦九韶用方程术（线性方程组）来求解。

设：

• $a$ = 合伏初日行度
• $d$ = 每日递减量（日差）

合伏阶段共16.9日，总行度3.9度：

$$S_{16.9} = 16.9a - \frac{16.9 \times 15.9}{2}d = 3.9$$

见后顺行阶段共113.17日，总行度17.83度：

$$S_{113.17} = 113.17a' - \frac{113.17 \times 112.17}{2}d' = 17.83$$

但秦九韶用的是更简洁的方法。他先求合伏阶段的平均行度：

$$\text{平行率} = \frac{3.9}{16.9} \approx 0.2308 \text{ 度/日} = 23\text{分}2\text{杪}$$

答曰：平行率二十三分二杪 ✓

第二步：求初行率和末行率

秦九韶用"方程法"求解。他设了一个辅助变量"见率"：

$$\text{见率} = \frac{113 - 1}{2} = 56 \text{ 日}$$ $$\text{初行法} = \frac{16.9 + 113.17}{2} = 64.95 \text{ 日}$$

然后建立方程组求解日差 $d$：

$$d = \frac{\text{两日均行度之差}}{\text{两阶段中点日数之差}}$$

经过复杂计算，得到：

$$d \approx 0.001123 \text{ 度/日} = 11\text{杪}23\text{小分}66\text{小杪}$$

第三步：求初行率和末行率

$$\text{初行率} = \text{平行率} + \frac{16.9-1}{2} \times d = 23\text{分}2\text{杪} + 7.95 \times 0.01123$$ $$\approx 23\text{分}97\text{杪}$$

答曰：初行率二十三分九十七杪 ✓

$$\text{末行率} = \text{初行率} - 16.9 \times d \approx 22\text{分}7\text{杪}$$

答曰：末行率二十二分七杪 ✓

现代数学视角

秦九韶的模型本质上是等差数列。

行星在合伏阶段的日行度构成等差数列：

• 首项 $a_1$ = 初行率
• 末项 $a_n$ = 末行率
• 公差 $-d$ = 日差
• 项数 $n$ = 合伏天数

等差数列求和：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

秦九韶的方法等价于：

$$a_1 = \bar{v} + \frac{n-1}{2}d, \quad a_n = \bar{v} - \frac{n-1}{2}d$$

其中 $\bar{v} = S_n/n$ 是平均速度。

现代天文学的解释

行星运动的加速/减速是由于地球和行星的相对运动。从地球上看，行星在合附近时视运动最慢（留），远离合时视运动加快。

木星的实际运动确实不是等差变化，但秦九韶的近似在短期内是合理的。

跟高中数学的关系

本题对应高中数学的等差数列和数列求和。

思想延伸：秦九韶用等差数列描述行星运动，体现了"化曲为直"的数学思想——用简单的线性模型近似复杂的曲线运动。

运算练兵场：本题涉及分数运算、等差数列求和，是对数列运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以数学文化题形式出现，考查学生对古代天文学算法的理解。

思考与拓展

1. 如果合伏阶段是17日，总行度4度，初行率是24分，求日差和末行率。

2. 秦九韶的方法假设日行度均匀变化。如果实际变化是非均匀的，误差会多大？

3. 现代天文学如何用开普勒定律描述行星运动？与秦九韶的等差模型有何联系？

4. 查阅《授时历》，郭守敬是如何改进行星运动计算的？

一句话总结

秦九韶用等差数列模型描述行星运动的加速与减速，体现了中国古代天文学"以简驭繁"的数学智慧。