雨量计算——天池盆中的等差级数

原典

問今州郡多有天池盆以測雨水但知以盆中之水為得雨之數不知器形不同則受雨多少亦異未可以所測便為平地得雨之數假今盆口徑二尺八寸底徑一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨降幾何

答曰平地雨降三寸

術曰盆深乗底徑為底率二徑差乗水深併底率為靣率以盆深為法除靣率得面径以二率相乗又各自乗三位併之乗水深為實盆深乗口徑以自之又三因為法除之得平地水深

——秦九韶《数书九章》天时类第四题

这道题说的是什么

古代用"天池盆"测量降雨量。盆子是圆台形（上宽下窄），雨水收集后，不能直接读水深——因为盆口和盆底面积不同。

已知：

• 盆口直径：2尺8寸 = 28寸
• 盆底直径：1尺2寸 = 12寸
• 盆深：1尺8寸 = 18寸
• 雨后水深：9寸

求：平地上的实际降雨深度。

示意图

圆台形天池盆，上口径28寸，下底径12寸，深18寸，水深9寸。雨水体积除以盆口面积，得到平地降雨深度。

古人的算法

第一步：求水面直径

圆台的性质：直径随高度线性变化。

设水面直径为 $d$，则：

$$\frac{d - 12}{28 - 12} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$ $$d - 12 = 8 \implies d = 20 \text{ 寸}$$

秦九韶的方法：

底率 = 盆深 × 底径 = $18 \times 12 = 216$

面率 = (两径差 × 水深) + 底率 = $(28-12) \times 9 + 216 = 144 + 216 = 360$

水面径 = 面率 ÷ 盆深 = $360 \div 18 = 20$ 寸 ✓

第二步：求雨水体积

圆台体积公式：

$$V = \frac{h}{3}(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2})$$

其中 $A_1$ 是上底面积，$A_2$ 是下底面积，$h$ 是高。

秦九韶用了一个等价的公式（用直径表示）：

$$V = \frac{h}{12}\pi(d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2)$$

他不用 $\pi$，而是用系数处理。实际上，他计算的是：

$$\text{实} = \frac{9}{3}(20^2 + 12^2 + 20 \times 12) = 3(400 + 144 + 240) = 3 \times 784 = 2352$$

但秦九韶的术文用的是另一种形式。让我们按他的步骤来：

二率相乘 = 底率 × 面率 = $216 \times 360 = 77760$

各自平方 = $216^2 + 360^2 = 46656 + 129600 = 176256$

三位并之 = $77760 + 176256 = 254016$

乘水深 = $254016 \times 9 = 2286144$

这是"实"（被除数）。

第三步：求平地雨深

法 = 盆深 × 口径² × 3

$$\text{法} = 18 \times 28^2 \times 3 = 18 \times 784 \times 3 = 42336$$ $$\text{平地雨深} = \frac{2286144}{42336} = 54 \text{ ...}$$

答曰是 3 寸。秦九韶的公式是：

$$\text{平地雨深} = \frac{\text{盆内雨水体积}}{\text{盆口面积}}$$

盆口面积（方积）= $28^2 = 784$ 平方寸

盆内雨水体积（圆台）= $\frac{9}{3}(20^2 + 12^2 + 20 \times 12) \times \frac{\pi}{4}$

但秦九韶不用 $\pi$，他用的是方田法：把圆面积近似为方面积。

实际上，正确的理解是：

雨水体积 = 圆台体积（用直径计算，不含 $\pi$）

$$V = \frac{h}{3}(d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2) \times \frac{\pi}{4}$$

平地雨深 = 雨水体积 ÷ 盆口面积（圆面积）

$$h_{\text{平}} = \frac{V}{\frac{\pi}{4} \times 28^2} = \frac{\frac{9}{3}(20^2 + 12^2 + 20 \times 12)}{28^2}$$ $$= \frac{3 \times 784}{784} = 3 \text{ 寸}$$

答曰：平地雨降三寸 ✓

现代数学视角

秦九韶的方法本质上是体积等效。

关键洞察：雨水体积除以收集口的面积，就是平地上的降雨深度。

$$h_{\text{平}} = \frac{V_{\text{雨水}}}{A_{\text{盆口}}} \qquad (1)$$

盆内雨水是一个圆台：

• 上底直径 $d_1 = 20$ 寸（水面直径）
• 下底直径 $d_2 = 12$ 寸（盆底直径）
• 高 $h = 9$ 寸

圆台体积：

$$V = \frac{h}{3}\pi\left(\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} + \frac{d_1 d_2}{4}\right) = \frac{h\pi}{12}(d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2)$$

盆口面积：

$$A = \frac{\pi}{4} \times 28^2$$

所以：

$$h_{\text{平}} = \frac{\frac{9\pi}{12}(400 + 144 + 240)}{\frac{\pi}{4} \times 784} = \frac{9 \times 784 / 3}{784} = 3 \text{ 寸}$$

$\pi$ 约掉了！这就是秦九韶不用 $\pi$ 的原因——它最终会消去。

跟高中数学的关系

本题对应高中数学的立体几何和体积计算。

思想延伸：秦九韶用体积等效的思想解决实际问题，体现了"数学建模"的核心——把现实问题转化为数学模型，求解后再还原回现实。

运算练兵场：本题涉及圆台体积公式、代数化简，是对几何运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，如2019年全国卷的"塔形琉璃塔"体积计算。

思考与拓展

1. 如果盆口直径变为30寸，盆底直径15寸，盆深20寸，雨后水深10寸，平地雨深是多少？

2. 秦九韶的算法假设雨水均匀落入盆中。如果风把雨吹斜了，测量结果会有多大误差？

3. 现代气象站用圆柱形雨量器测量降雨量。为什么不用圆台形？这与秦九韶的问题有何本质不同？

4. 如果盆的形状是球冠形（而不是圆台），如何计算平地雨深？

一句话总结

秦九韶用圆台体积公式推算平地降雨量，体现了中国古代"以器测天"的数学智慧。