峻积验雪——斜坡上的积雪厚度

原典

問驗雪占年墻高一丈二尺倚木去址五尺梢與墻齊木身積雪厚四寸峻積薄平積厚欲知平地雪厚幾何

答曰平地雪厚一尺四分

術曰以少廣求之連枝入之以去址自乗為隅以墻髙自乗併隅於上以雪厚自之乗上為實開連枝平方得地雪厚

——秦九韶《数书九章》天时类

这道题说的是什么

古代用"验雪"方法测量降雪量：在斜坡上放置一根木杆，木杆上积雪的厚度与平地上积雪的厚度不同。

已知：

• 墙高：1丈2尺 = 120寸
• 木杆去墙根距离：5尺 = 50寸
• 木杆梢与墙顶齐平（木杆斜靠在墙上）
• 木身上积雪厚度：4寸

求：平地上的积雪厚度。

示意图

木杆斜靠墙壁，木身上的积雪厚度与平地不同，通过相似三角形换算。

古人的算法

几何模型

木杆、墙、地面构成一个直角三角形：

• 墙高（股）= 120寸
• 木杆去址（勾）= 50寸
• 木杆长度（弦）= $\sqrt{120^2 + 50^2} = \sqrt{14400 + 2500} = \sqrt{16900} = 130$ 寸

相似三角形

木杆上的积雪厚度是垂直于木杆测量的，而平地上的积雪厚度是垂直于地面测量的。

设木杆与地面的夹角为 $\theta$，则：

$$\sin \theta = \frac{120}{130} = \frac{12}{13}$$ $$\cos \theta = \frac{50}{130} = \frac{5}{13}$$

积雪厚度换算

木杆上的积雪厚度 $h_s = 4$ 寸是垂直于木杆的。

平地上的积雪厚度 $h_g$ 与木杆上的积雪厚度的关系：

$$h_g = h_s \times \sin \theta = 4 \times \frac{12}{13} = \frac{48}{13} \approx 3.69 \text{ 寸}$$

但答曰是 1 尺 4 分 = 14 寸。秦九韶的术文说：

"以去址自乘为隅，以墙高自乘，并隅于上，以雪厚自之，乘上为实，开连枝平方得地雪厚。"

翻译成现代数学：

$$\text{隅} = 50^2 = 2500$$ $$\text{墙高平方} = 120^2 = 14400$$ $$\text{并隅于上} = 14400 + 2500 = 16900$$ $$\text{以雪厚自之} = 4^2 = 16$$ $$\text{乘上为实} = 16 \times 16900 = 270400$$ $$\text{开连枝平方} = \sqrt{270400} = 520$$

520寸 = 5丈2尺？秦九韶用的是"少广"和"连枝"的方法。正确的理解是：

$$\text{地雪厚} = \frac{\text{雪厚} \times \text{墙高}}{\text{木杆长}} = \frac{4 \times 120}{130} = \frac{480}{130} = \frac{48}{13} \approx 3.69 \text{ 寸}$$

但答曰写的是1尺4分 = 14寸。这说明我的理解还有问题。

再仔细看题文："峻积薄平积厚"——斜坡上的积雪薄，平地上的积雪厚。

实际上，秦九韶的方法可能是：

$$h_g = h_s \times \frac{\text{墙高}}{\text{木杆去址}} = 4 \times \frac{120}{50} = 4 \times 2.4 = 9.6 \text{ 寸}$$

改用秦九韶的术文来算：

"以去址自乘为隅" → $50^2 = 2500$ "以墙高自乘" → $120^2 = 14400$ "并隅于上" → $14400 + 2500 = 16900$ "以雪厚自之" → 这里应该是"以雪厚乘上"？ → $4 \times 16900 = 67600$ "乘上为实" → 不太清楚

实际上，秦九韶的答案是1尺4分 = 14寸。

如果 $h_g = 14$ 寸，$h_s = 4$ 寸，那么比例是 $14/4 = 3.5$。

这个比例应该等于 $\frac{1}{\cos \theta}$ 或 $\frac{1}{\sin \theta}$。

$\cos \theta = 50/130 \approx 0.385$，$1/\cos \theta \approx 2.6$，不对。

$\sin \theta = 120/130 \approx 0.923$，$1/\sin \theta \approx 1.08$，也不对。

"开连枝平方"是指开平方后乘以某个系数。

如果答案是14寸，那么：

$$14 = 4 \times \frac{120}{50} \times \frac{50}{120} \times ...$$

按答曰理解，秦九韶得到 14 寸，这可能是因为他的模型假设了某种特定的几何关系。

经过重新审视，我认为正确的理解是：

秦九韶用的是面积等效的方法。斜坡上的积雪体积与平地上的积雪体积相等，但分布面积不同。

斜坡面积与水平面积的比等于 $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{130}{50} = 2.6$。

如果斜坡上的积雪深度是4寸，那么平地上的积雪深度应该是：

$$h_g = 4 \times \frac{130}{50} = 10.4 \text{ 寸}$$

按秦九韶的答案 1 尺 4 分 = 14 寸反推，他的算法可能基于某种经验系数，与现代理解有所不同。

现代数学视角

现代气象学中，斜坡积雪的换算需要考虑：

1. 积雪密度
2. 风向影响
3. 斜坡角度

秦九韶的模型过于简化，但他的思路——用几何关系换算不同方向的测量值——是正确的。

正确的换算公式

如果木杆与地面夹角为 $\theta$，则：

$$h_{\text{平地}} = h_{\text{斜坡}} \times \sin \theta$$

其中 $\sin \theta = \frac{120}{130}$。

$$h_{\text{平地}} = 4 \times \frac{120}{130} = \frac{480}{130} \approx 3.69 \text{ 寸}$$

这与答曰14寸相差很大。可能的原因是：

1. 题目理解有误
2. 答曰可能有误
3. 秦九韶用了不同的模型

跟高中数学的关系

本题对应高中数学的解三角形和立体几何。

思想延伸：秦九韶用几何方法解决实际问题，体现了"数学建模"的思想。

运算练兵场：本题涉及勾股定理、相似三角形，是对几何运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。

思考与拓展

1. 如果木杆与地面夹角是30度，斜坡上的积雪厚度是5寸，平地积雪厚度是多少？

2. 现代气象学如何测量斜坡上的积雪量？与秦九韶的方法有何不同？

3. 查阅资料，了解中国古代其他气象测量方法。

4. 如果墙高变为150寸，木杆去址变为60寸，积雪厚度变为5寸，平地积雪厚度是多少？

一句话总结

秦九韶用几何关系换算斜坡积雪与平地积雪，虽然模型简化，但体现了中国古代气象测量的数学智慧。