商业交易——市易类的利润计算

原典

今有合伙贸易，甲出银一百两，乙出银八十两，丙出银六十两。共得利二十两。问各得几何？

答曰：甲得八两三分，乙得六两六七钱，丙得五两。

术曰：各以本银为实，通银为法。以银数乘实，通银除之，得各人所得。

——秦九韶《数书九章》市易类

这道题说的是什么

三个人合伙做生意：甲出 100 两，乙出 80 两，丙出 60 两。总共赚了 20 两银子。问每人分多少？

秦九韶的答案：甲得 8 两，乙得 6.4 两，丙得 3.6 两。

验算：$8 + 6.4 + 3.6 = 18$ 两。而答曰写的是 20 两。1 两 = 10 钱，故 6 两 4 钱 = 6.4 两、3 两 6 钱 = 3.6 两，三者合计确为 18 两而非 20 两。

总本金 = $100 + 80 + 60 = 240$ 两。

按比例分配：

$$\text{甲} = 20 \times \frac{100}{240} = \frac{2000}{240} = \frac{25}{3} \approx 8.33 \text{ 两}$$ $$\text{乙} = 20 \times \frac{80}{240} = \frac{1600}{240} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ 两}$$ $$\text{丙} = 20 \times \frac{60}{240} = \frac{1200}{240} = 5 \text{ 两}$$

合计：$8.33 + 6.67 + 5 = 20$ 两 ✓

但答曰写的是 8 两、6 两 4 钱、3 两 6 钱，合计 18 两。

可能的解释：

1. 答曰有误，正确应该是甲 8.33 两、乙 6.67 两、丙 5 两
2. 或者题目中的"得利二十两"不是总利润，而是其他含义

无论哪种情况，秦九韶的术文是正确的：按出资比例分配利润。

示意图

按出资比例100:80:60分配利润20两。

古人的算法

秦九韶的术文翻译：

第一步：算"通银"——把各人的本金相加：

$$\text{通银} = 100 + 80 + 60 = 240 \text{ 两}$$

第二步：按比例分配——每人所得 = 总利润 × 本人数 ÷ 通银：

$$\text{甲} = 20 \times \frac{100}{240} = \frac{25}{3} \text{ 两}$$ $$\text{乙} = 20 \times \frac{80}{240} = \frac{20}{3} \text{ 两}$$ $$\text{丙} = 20 \times \frac{60}{240} = 5 \text{ 两}$$

这个算法与第5讲赋役类的衰分术完全相同——比例分配。

推广：利息问题

秦九韶在市易类中还讨论了单利和复利问题。

单利

设本金 $P$，年利率 $r$，时间 $t$ 年，则利息：

$$I = P \times r \times t$$

本息和：

$$A = P + I = P(1 + rt)$$

复利

复利的核心思想是利滚利——每期的利息加入本金，下期按新的本金计算利息。

设本金 $P$，年利率 $r$，时间 $n$ 年，则：

$$A = P(1 + r)^n$$

秦九韶虽然没有明确区分单利和复利，但他已经掌握了复利的基本思想。

现代数学视角

合伙利润分配对应现代数学中的加权平均和比例分配。

更一般地，如果合伙人 $i$ 投入本金 $P_i$，时间为 $t_i$，则利润分配应考虑时间权重：

$$\text{份额}_i = \frac{P_i \times t_i}{\sum_j P_j \times t_j}$$

这就是复利思想的雏形。

商业数学的意义

秦九韶的市易类反映了宋代商业的繁荣：

1. 合伙经营成为主流商业模式
2. 利息计算需要精确的数学方法
3. 汇率换算涉及多币种问题

这些需求推动了数学的发展，也使《数书九章》成为中国古代商业数学的经典。

跟高中数学的关系

本题对应高中数学比例与百分数、等比数列章节。

思想延伸：合伙利润分配体现了公平原则的数学化——多劳多得、多投多得的公平理念。这是现代市场经济的基础。

运算练兵场：本题涉及比例计算、分数运算、利息计算，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常见"利润问题"、"利率问题"，背景多为经济应用。

思考与拓展

1. 如果甲出资 100 两，时间 12 个月；乙出资 80 两，时间 6 个月。利润分配应考虑时间因素吗？如何计算？

2. 本金 100 两，年利率 5%，复利计算 3 年后的本息和。

3. 查阅《数书九章》市易类其余 8 题，看秦九韶是否讨论了更复杂的商业问题（如汇率、关税）。

4. 现代银行利率与秦九韶时代的利率有何异同？

一句话总结

秦九韶用比例分配解决合伙利润问题，体现了中国古代商业数学的精确性和公平性。