命题——能判真假的一句话

一句话凭什么算数

数学里"命题"这个词，门槛比日常说话低得多，只有一个要求：能判断真假。

• "3 是奇数"——能判，真。是命题。
• "所有偶数都能被 2 整除"——能判，真。是命题。
• "今天天气很好"——不能确定地判真假（什么算"很好"？）。不是命题。
• "$x > 5$"—— $x$ 不确定，真假随 $x$ 变。本身不是命题；但"对任意实数 $x$，$x^2 \ge 0$"是命题。

最后一类是陷阱：含变量未加限定的陈述句不是命题。 "$x > 5$" 单独出现，$x$ 是谁？没说。加上限定——"已知 $x = 7$，则 $x > 5$"或"对一切 $x \in \mathbb{R}$，$x > 5$"——才成为命题。

判断一个陈述句是不是命题，就问：它有没有确定的真假？

命题的结构：条件和结论

数学命题几乎都能拆成两半：

若 $p$，则 $q$。

$p$ 叫条件，$q$ 叫结论。写成符号：

$$p \Rightarrow q$$

读作"$p$ 推出 $q$""若 $p$ 则 $q$""$p$ 是 $q$ 的充分条件"。

"$\Rightarrow$"这个箭头是有方向的。 $p \Rightarrow q$ 不意味着 $q \Rightarrow p$。这是充分必要条件那一讲的全部内容。

四种形式：互逆、互否、逆否

对一个命题"若 $p$ 则 $q$"，可以构造另外三个：

名称	形式	与原命题的关系
原命题	若 $p$ 则 $q$	—
逆命题	若 $q$ 则 $p$	真假无关
否命题	若 $\neg p$ 则 $\neg q$	真假无关
逆否命题	若 $\neg q$ 则 $\neg p$	同真同假

逆否命题和原命题等价——这是本讲最重要的一条，也是高考证明题的常用转化：

要证"若 $p$ 则 $q$"太难，就改证"若 $\neg q$ 则 $\neg p$"。反证法的逻辑内核就是逆否命题。

而逆命题和否命题之间也互为逆否——它们俩彼此等价，但和原命题没关系。

例子：

• 原命题："若 $x = 1$，则 $x^2 = 1$"——真
• 逆命题："若 $x^2 = 1$，则 $x = 1$"——假（$x = -1$ 也行）
• 否命题："若 $x \ne 1$，则 $x^2 \ne 1$"——假
• 逆否命题："若 $x^2 \ne 1$，则 $x \ne 1$"——真

结论：原命题真，逆否必真；但逆命题和否命题都可能假。 看到一个真命题，不要顺手就认为它的逆命题也真。

逻辑连接词：且、或、非

简单命题可以用连接词组成复合命题。

且（$\land$）

$p \land q$：两个都真才真。

$p$	$q$	$p \land q$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

"一假必假。"

或（$\lor$）

$p \lor q$：有一个真就真。

$p$	$q$	$p \lor q$
真	真	真
真	假	真
假	真	真
假	假	假

"一真必真。"

非（$\neg$）

$\neg p$：真假反过来。

否定一个命题，最容易出错。 三条规则：

一、有些/所有的互换。

• "所有 $x$ 都满足 $P$"的否定是"存在一个 $x$ 不满足 $P$"
• "存在 $x$ 满足 $P$"的否定是"所有 $x$ 都不满足 $P$"

二、且或互换。

• "$p$ 且 $q$"的否定是"$\neg p$ 或 $\neg q$"（德摩根律）
• "$p$ 或 $q$"的否定是"$\neg p$ 且 $\neg q$"

三、等于变不等，大于变不大于。

• "$x = 3$"的否定是"$x \ne 3$"
• "$x > 3$"的否定是"$x \le 3$"（注意不是 $x < 3$）
• "$x \ge 3$"的否定是"$x < 3$"

第三条是高考最常扣分的地方：否定的否定要涵盖边界。"大于"否掉之后要包含"等于"，所以是"小于或等于"。

复合命题真假判断的考法

高考考法很固定：给两个简单命题 $p$、$q$ 的真假，问 "$p \land q$""$p \lor q$""$\neg p$" 的真假。

关键是要先判断 $p$、$q$ 各自的真假。 这一步才是难点，方法因题而异——可能要求解不等式、可能要求判断函数奇偶性、可能要求判断充分必要。

量词：全称与存在

含量词的命题，是高中逻辑的核心，也是考试重灾区。

全称量词

"所有""任意""每一个""一切"——短语是"对所有的 $x$，$p(x)$ 成立"，符号：

$$\forall x, \ p(x)$$

存在量词

"存在""有些""至少有一个""有一个"——符号：

$$\exists x, \ p(x)$$

含量词命题的否定：量词互换 + 结论否定

这是必考考点，规则就两条，一起用：

$$\neg(\forall x, p(x)) = \exists x, \neg p(x)$$ $$\neg(\exists x, p(x)) = \forall x, \neg p(x)$$

"所有"换"存在"，"存在"换"所有"，同时把结论否定掉。

例子：

• 原命题："所有偶数都能被 2 整除"（真）
• 否定："存在一个偶数不能被 2 整除"（假）

注意"否定一个真命题，得到的一定是假命题"。 如果你否定之后得到的还是真的，说明否错了。

充分必要条件：下一讲的预告

命题与条件的关系，收敛到一组最重要的概念：

• $p \Rightarrow q$，$p$ 是 $q$ 的充分条件
• $q \Rightarrow p$，$p$ 是 $q$ 的必要条件
• 两个都成立，$p$ 是 $q$ 的充要条件
• 两个都不成立，$p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件

这一讲只要建立"$\Rightarrow$ 有方向"的意识，具体判定下一讲细讲。

在高中数学体系里的位置

• 充分必要条件（下一讲）：两个命题的推出关系，配集合语言判充要。
• 集合运算（上一讲）：且或非与交并补，是同一件事的逻辑版与几何版。
• 反证法：逆否命题等价于原命题，是反证法的依据。
• 恒成立问题（导数专题）：「对任意 $x$ 恒成立」是全称命题，「存在 $x$ 使成立」是存在命题——两种量词的区分，直接决定解法。

思考与拓展

1. 判断下列语句是否为命题：(1) $x^2 + 1 = 0$；(2) 对任意实数 $x$，$x^2 + 1 > 0$；(3) 请把门关上。
2. 写出命题"若 $ab = 0$，则 $a = 0$"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各自真假。
3. 写出下列命题的否定："所有平行四边形都是轴对称图形"。
4. 已知 $p$：$x > 2$，$q$：$x > 3$，判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。

高考母题

（2024·北京） 设 $\overset\rightarrow { a }$ ， $\overset\rightarrow { b }$ 是向量，则“ $\left ( { a+b } \right )·\left ( { a-b } \right )=0$ ”是“ $\overset\rightarrow { a }=-\overset\rightarrow { b }$ 或 $\overset\rightarrow { a }=\overset\rightarrow { b }$ ”的（    ）． C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

展开详解

答案：B

【分析】
根据向量数量积分析可知 $\left ( { a+b } \right )⋅\left ( { a-b } \right )=0$ 等价于 $\left | { a } \right |=\left | { b } \right |$ ，结合充分、必要条件分析判断. 因为 $\left ( { a+b } \right )⋅\left ( { a-b } \right )=a ^ { 2 } -b ^ { 2 } =0$ ，可得 $\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } =\overset\rightarrow { b } ^ { 2 }$ ，即 $\left | { a } \right |=\left | { b } \right |$ ， 可知 $\left ( { a+b } \right )⋅\left ( { a-b } \right )=0$ 等价于 $\left | { a } \right |=\left | { b } \right |$ ， 若 $\overset\rightarrow { a }=\overset\rightarrow { b }$ 或 $\overset\rightarrow { a }=-\overset\rightarrow { b }$ ，可得 $\left | { a } \right |=\left | { b } \right |$ ，即 $\left ( { a+b } \right )⋅\left ( { a-b } \right )=0$ ，可知必要性成立； 若 $\left ( { a+b } \right )⋅\left ( { a-b } \right )=0$ ，即 $\left | { a } \right |=\left | { b } \right |$ ，无法得出 $\overset\rightarrow { a }=\overset\rightarrow { b }$ 或 $\overset\rightarrow { a }=-\overset\rightarrow { b }$ ， 例如 $a=\left ( { 1,0 } \right ),b=\left ( { 0,1 } \right )$ ，满足 $\left | { a } \right |=\left | { b } \right |$ ，但 $\overset\rightarrow { a }≠\overset\rightarrow { b }$ 且 $\overset\rightarrow { a }≠-\overset\rightarrow { b }$ ，可知充分性不成立； 综上所述，“ $\left ( { a+b } \right )⋅\left ( { a-b } \right )=0$ ”是“ $\overset\rightarrow { a }=-\overset\rightarrow { b }$ 或 $\overset\rightarrow { a }=\overset\rightarrow { b }$ ”的必要不充分条件. 故选：B.

一句话总结

命题就是能判真假的陈述句，含未定量词的先加限定；逆否命题必同真假，逆命题否命题未必；且一假必假、或一真必真；含量词命题否定=量词互换+结论否定，且 $\neg(x>3)$ 是 $x \le 3$ 不是 $x<3$。