等比数列求和——错位相减的思想

一个古老的问题

古印度有个传说：国际象棋的发明者请求国王赏赐麦粒——棋盘第 1 格放 1 粒，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒，第 4 格放 8 粒……每一格都是前一格的两倍，放满 64 格。

国王觉得这很容易，就答应了。

结果算出来才发现：$1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{63}$，这个数大得离谱——全印度的粮食加起来都不够。

到底等于多少？这就是等比数列的求和问题。

等差数列求和，我们用了倒序相加法——利用了"对称两项之和相等"的性质。

等比数列呢？它也有对称性，但它的对称是乘积的对称，不是加法的对称。所以倒序相加不管用了，我们需要另一个方法。

这个方法就是——错位相减法。

错位相减法推导

设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$：

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$$

用通项公式展开：

$$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1} \qquad (1)$$

现在，两边同时乘以公比 $q$：

$$q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \ldots + a_1 q^n \qquad (2)$$

你仔细看看这两个式子——(1) 的第二项和 (2) 的第一项一样，(1) 的第三项和 (2) 的第二项一样…… 中间大部分项都是重复的！

如果把它们对齐相减，中间的项就全都抵消了。

用 (1) − (2)：

$$S_n - qS_n = a_1 - a_1 q^n$$

左边提取 $S_n$：

$$(1 - q)S_n = a_1(1 - q^n)$$

当 $q \neq 1$ 时，两边除以 $(1-q)$：

$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

这就是等比数列的前 $n$ 项和公式。

为什么叫"错位相减"？因为乘了 $q$ 之后，整个式子相当于往右"错"了一位，然后对齐相减，中间就全部抵消了。错位是手段，相减抵消才是目的。

示意图

公式的两种形式

和等差一样，等比求和公式也有两种常用形式：

形式一：用首项和公比表示

$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$

这是最基本的形式，也是错位相减直接得到的结果。

形式二：用首项和末项表示

把 $a_n = a_1 q^{n-1}$ 代入，分子里的 $a_1 q^n = q \cdot a_1 q^{n-1} = q a_n$，所以：

$$S_n = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$

这个形式和等差的 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 有点像——都是用首项和末项表示。不过等差是和的形式，等比是差的形式。

什么时候用哪个？

• 知道 $a_1$ 和 $q$ → 用第一个公式
• 知道 $a_1$ 和 $a_n$ → 用第二个公式
• $q = 1$ 时 → 两个公式都不能用（分母为 0），直接 $S_n = n a_1$

特别注意：q = 1 的情况

这是等比求和最容易错的地方。

当公比 $q = 1$ 时，等比数列就是常数列，每一项都等于 $a_1$，所以前 $n$ 项和就是 $n a_1$。

但上面两个公式在 $q = 1$ 时分母都是 0，没有意义。所以遇到等比求和的题，首先要想想公比会不会等于 1，如果可能等于 1，就要单独讨论。

题目里越是没说 $q \neq 1$，你越要警惕——很可能就要分情况讨论。

无穷递缩等比数列

等比求和有一个非常有意思的延伸：如果项数有无穷多项，和会是多少？

直觉上，无穷多个数加起来应该是无穷大。但等比数列不一定——如果公比的绝对值小于 1，也就是 $|q| < 1$，那么越往后项越小，趋近于 0，总和可能是一个有限的数。

我们来看看：

$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

当 $|q| < 1$ 时，$n$ 越来越大，$q^n$ 越来越接近 0。所以当 $n \to \infty$ 时：

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$$

这就是无穷递缩等比数列的求和公式。

这个结论很反直觉——无穷多个正数加起来，结果居然是有限的？但数学上是严格成立的。

经典的例子：$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots = 2$。

每次都加剩下的一半，你以为永远加不完，但其实总和永远超不过 2，而且无限接近 2。

无穷递缩等比数列的和，是高中数学里接触"极限"思想的第一个例子。虽然高考不直接考极限，但这个直觉非常重要——它能帮你理解很多"趋近于"的问题，也为大学的微积分打基础。

错位相减的推广

错位相减法不只能用于等比数列求和。它还能用于一类更复杂的数列：等差 × 等比 型的数列。

比如数列 $a_n = n \cdot 2^n$——等差部分是 $n$，等比部分是 $2^n$。这种数列的求和，标准做法也是错位相减。

方法是一样的：写出 $S_n$，两边乘等比部分的公比，然后错位相减。相减之后，右边就变成了一个纯等比数列的和，就可以套公式了。

这个方法到高三复习的时候会重点练，这里先有个印象就行——错位相减的适用范围比你想象的广，它不只是等比数列的专属工具。

从函数视角看求和公式

等比数列前 $n$ 项和：

$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q} - \frac{a_1}{1 - q} \cdot q^n$$

令 $A = \dfrac{a_1}{1 - q}$，则：

$$S_n = A - A q^n = A(1 - q^n)$$

这是一个指数型函数——常数减去一个指数函数。

和等差对比一下：

• 等差的 $S_n$ 是二次函数（$An^2 + Bn$）
• 等比的 $S_n$ 是指数型函数（$A - Aq^n$）

完美对应：等差通项是一次函数，和是二次函数（积分一次）；等比通项是指数函数，和还是指数型（积分指数函数还是指数函数）。

这个视角的用处：判断一个数列是不是等比数列，也可以看它的前 $n$ 项和是不是 $S_n = A - Aq^n$ 的形式——如果是，那就是等比数列，公比就是 $q$。

一个经典的陷阱题

来看一道很多人做错的题：

等比数列 $\{a_n\}$ 中，$S_3 = 7$，$S_6 = 63$，求 $S_9$。

很多同学的第一反应：$S_3, S_6 - S_3, S_9 - S_6$ 成等比数列，所以 $7, 56, S_9 - 63$ 成等比，公比是 $8$，所以 $S_9 - 63 = 56 \times 8 = 448$，$S_9 = 511$。

答案是对的，但你有没有想过：为什么"连续等长片段的和成等比"这个性质成立？

我们来验证一下：第一段 $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$，第二段 $S_6 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 = q^3(a_1 + a_2 + a_3) = q^3 S_3$，第三段同理是 $q^6 S_3$。所以确实成等比，公比是 $q^3$。

但要注意：这个性质有个前提——公比不能为 -1（或者说不能导致片段和为 0）。

比如公比 $q = -1$，项数是偶数时，每一段的和都是 0，0, 0, 0…… 这就不是等比数列了（等比数列不能有 0）。

所以用这个性质的时候，心里要清楚它的适用条件。大多数题目都是正项等比或者 $q \neq -1$，所以直接用没问题，但遇到公比为负的情况要小心。

在高中数学体系里的位置

等比数列求和是数列章节的绝对重点，也是高考的高频考点。

它重要的原因有三个：

第一，方法本身很经典。 错位相减法是高中数学里最重要的求和技巧之一，也是考试最常考的方法——不是考你记不记得公式，而是考你会不会用这个方法推导。很多大题会故意出一个你没见过的数列，就是要你现场用错位相减来求和。

第二，和其他知识联系紧密。 等比求和天然可以和指数函数、不等式、极限、数学归纳法结合，是出综合题的好素材。尤其是"放缩法证明数列不等式"，很多时候就是放缩成一个等比数列来求和。

第三，实际应用广泛。 银行复利、分期付款、增长率问题、折旧问题…… 这些现实中的问题本质上都是等比数列求和。高考的应用题也经常从这个角度出。

所以学等比求和，重点不是公式，而是错位相减这个方法本身。公式忘了可以推，但方法不会就是真不会了。

思考与拓展

1. 用错位相减法计算：$1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{63}$。结果是多少？（就是开头那个麦粒问题）
2. 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$q = 2$，$S_4 = 15$，求 $a_1$。你能用几种方法做？
3. 求数列 $1, 2x, 3x^2, 4x^3, \ldots, nx^{n-1}$ 的前 $n$ 项和。（提示：这是等差×等比型，用错位相减）
4. 无穷递缩等比数列的首项为 2，所有项的和为 5，求公比 $q$。如果把首项和公比都告诉你，你能快速判断无穷和是否存在吗？

高考母题

（2018·天津） 设 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{ n } \left ( { n∈N ^ { { * } } } \right )$ ， $\left \{ b_{ n } \right \}$ 是等差数列.已知 $a_{ 1 } =1$ ， $a_{ 3 } =a_{ 2 } +2$ ， $a_{ 4 } =b_{ 3 } +b_{ 5 }$ ， $a_{ 5 } =b_{ 4 } +2b_{ 6 }$ .
（I）求 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 和 $\left \{ b_{ n } \right \}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left \{ S_{ n } \right \}$ 的前n项和为 $T_{ n } \left ( { n∈N ^ { { * } } } \right )$ ， （i）求 $T_{ n }$ ； （ii）证明.

展开详解

(Ⅰ) $a_{ n } =2 ^ { n-1 }$ ， $b_{ n } =n$ ；
(Ⅱ)（i） $T_{ n } =2 ^ { n+1 } -n-2$ . （ii）因为 $\frac { \left ( { T_{ k } +b_{ k+2 } } \right )b_{ k } } { \left ( { k+1 } \right )\left ( { k+2 } \right ) }=\frac { \left ( { 2 ^ { k+1 } -k-2+k+2 } \right )k } { \left ( { k+1 } \right )\left ( { k+2 } \right ) }=\frac { k⋅2 ^ { k+1 } } { \left ( { k+1 } \right )\left ( { k+2 } \right ) }=\frac { 2 ^ { k+2 } } { k+2 }-\frac { 2 ^ { k+1 } } { k+1 }$ ， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 分析：
（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得 $q=2$ ，则 $a_{ n } =2 ^ { n-1 }$ .结合等差数列通项公式可得 $b_{ n } =n.$
（II）（i）由（I），有 $S_{ n } =2 ^ { n } -1$ ，则. （ii）因为 $\frac { \left ( { T_{ k } +b_{ k+2 } } \right )b_{ k } } { \left ( { k+1 } \right )\left ( { k+2 } \right ) }=\frac { 2 ^ { k+2 } } { k+2 }-\frac { 2 ^ { k+1 } } { k+1 }$ ，裂项求和可得. 详解：
（I）设等比数列 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 的公比为q.由 $a_{ 1 } =1,a_{ 3 } =a_{ 2 } +2,$ 可得 $q ^ { 2 } -q-2=0$ .因为 $q>0$ ，可得 $q=2$ ，故 $a_{ n } =2 ^ { n-1 }$ . 设等差数列 $\left \{ b_{ n } \right \}$ 的公差为d，由 $a_{ 4 } =b_{ 3 } +b_{ 5 }$ ，可得 $b_{ 1 } +3d=4.$ 由 $a_{ 5 } =b_{ 4 } +2b_{ 6 }$ ，可得 $3b_{ 1 } +13d=16,$ 从而 $b_{ 1 } =1,d=1,$ 故 $b_{ n } =n.$ 所以数列 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 的通项公式为 $a_{ n } =2 ^ { n-1 }$ ， 数列 $\left \{ b_{ n } \right \}$ 的通项公式为 $b_{ n } =n.$
（II）（i）由（I），有 $S_{ n } =\frac { 1-2 ^ { n } } { 1-2 }=2 ^ { n } -1$ ， 故. （ii）略

一句话总结

等比求和的核心是错位相减——乘一个公比、错开一位、相减抵消，剩下两头就算出来了。方法比公式更重要。