等比中项与性质——乘法版的对称

从等差到等比的翻译

上一讲我们说了一个核心思想：等差和等比在结构上高度相似，等差里的加法到等比里变成乘法。

这个对应关系在性质上体现得最明显。

等差数列的核心性质是：

若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$

那等比数列呢？按照"加法变乘法"的翻译规则，应该是：

若 $m + n = p + q$，则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$

对不对？我们来验证一下。

脚标积性质

性质：在等比数列中，如果 $m + n = p + q$（$m, n, p, q$ 都是正整数），那么

$$a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$$

用通项公式来证明：

左边：

$$a_m \cdot a_n = (a_1 q^{m-1}) \cdot (a_1 q^{n-1}) = a_1^2 q^{m+n-2}$$

右边：

$$a_p \cdot a_q = (a_1 q^{p-1}) \cdot (a_1 q^{q-1}) = a_1^2 q^{p+q-2}$$

因为 $m + n = p + q$，所以指数相等，两边完全相等。证毕。

和等差的脚标和性质对比一下：

• 等差：脚标和相等 → 两项和相等
• 等比：脚标和相等 → 两项积相等

完全就是加法变乘法的翻译。

等比中项

和等差中项对应，等比也有中项。

如果三个数 $a, G, b$ 成等比数列，那么 $G$ 叫做 $a$ 和 $b$ 的等比中项。

根据定义：

$$\frac{G}{a} = \frac{b}{G}$$

交叉相乘得：

$$G^2 = ab$$

也就是：

$$G = \pm \sqrt{ab}$$

等比中项等于前后两项的几何平均数（的正负两个值）。

和等差中项对比：

• 等差中项：$A = \dfrac{a + b}{2}$（算术平均）
• 等比中项：$G = \pm \sqrt{ab}$（几何平均，有正负两个）

这里有两个注意点：

1. 等比中项有两个，一正一负，互为相反数。而等差中项只有一个。
2. $a$ 和 $b$ 必须同号——因为 $G^2 = ab$，左边是平方非负，所以右边 $ab \ge 0$，又因为等比数列不能有 0，所以 $ab > 0$，即 $a$ 和 $b$ 同号。

等比中项其实也是脚标积性质的特例——当 $p = q$ 时，$m + n = 2p$，则 $a_m \cdot a_n = a_p^2$，也就是 $a_p$ 是 $a_m$ 和 $a_n$ 的等比中项。

示意图

其他常用性质

和等差对照，等比也有一系列对应的性质。我们用"翻译"的方式来列出来：

性质一：等距抽取还是等比

从等比数列中，每隔相同的距离取一项，组成的新数列仍然是等比数列。

比如取出所有奇数项 $a_1, a_3, a_5, \ldots$，还是等比数列，公比变成了原来的 $q^2$（因为隔了一项，乘了两次 $q$）。

取出 $a_2, a_5, a_8, \ldots$，脚标每次加 3，新公比就是 $q^3$。

和等差的对应：等差每 $k$ 项抽取，新公差是 $kd$；等比每 $k$ 项抽取，新公比是 $q^k$。加→乘，乘→乘方。

性质二：乘积和倒数还是等比

如果 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是等比数列（公比分别为 $q_a, q_b$），那么：

• $\{a_n \cdot b_n\}$ 是等比数列，公比 $q_a \cdot q_b$
• $\left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\}$ 是等比数列，公比 $\dfrac{q_a}{q_b}$
• $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 是等比数列，公比 $\dfrac{1}{q}$
• $\{|a_n|\}$ 是等比数列，公比 $|q|$

但注意，$\{a_n + b_n\}$ 一般不是等比数列——就像等差中 $\{a_n \cdot b_n\}$ 一般不是等差数列一样。加法和乘法不是一个层面的运算。

性质三：连续等长片段的积成等比

这个也和等差对应。等差是"连续等长片段的和成等差"，等比就是"连续等长片段的积成等比"。

具体来说：在等比数列中，依次每 $k$ 项的乘积 $a_1a_2\cdots a_k$、$a_{k+1}a_{k+2}\cdots a_{2k}$、$a_{2k+1}a_{2k+2}\cdots a_{3k}$……仍然成等比数列，公比是 $q^{k^2}$。

为什么公比是 $q^{k^2}$？因为每一段有 $k$ 项，每一项都比前一段对应项多乘了 $q^k$（往后挪了 $k$ 个位置），一共 $k$ 项，所以总共乘了 $(q^k)^k = q^{k^2}$。

这个性质用得不如等差那个多，但知道了有好处，遇到了能直接秒。

一个经典的应用

来看一道题：

等比数列 $\{a_n\}$ 中，各项都是正数，且 $a_2 \cdot a_8 = 16$，求 $a_5$。

用脚标积性质：$2 + 8 = 5 + 5$，所以 $a_2 \cdot a_8 = a_5^2$，即 $a_5^2 = 16$，所以 $a_5 = 4$（因为各项为正，舍去负的）。

再看一道稍微复杂点的：

等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 = 32$，求 $a_3$。

五相乘，中间是 $a_3$。用对称性配对：$a_1 \cdot a_5 = a_3^2$，$a_2 \cdot a_4 = a_3^2$，所以五相乘等于 $a_3^2 \cdot a_3^2 \cdot a_3 = a_3^5 = 32$，所以 $a_3 = 2$。

看到了吗？对称配对是做等比数列题最常用的技巧，和等差数列里的思路一模一样，只是把加变成乘。

几个容易踩的坑

等比数列的性质和等差很像，但因为是乘法，所以有几个独特的坑。

坑一：公比为负的情况

等差的公差为负，数列就是递减的，很直观。

但等比的公比为负，数列是正负交替摆动的。这时候很多性质要小心：

• 脚标积性质仍然成立（不管正负，乘法交换律结合律都成立）
• 但"单调性"就不存在了——摆动数列既不增也不减
• 等比中项一定有两个值（一正一负），题目如果没说正负，两个都要考虑

坑二：各项同号的条件

如果题目说"等比数列的各项都是正数"，这句话不只是告诉你符号——它还排除了公比为负的情况，因为公比为负的话一定有正有负。

反过来，如果一个等比数列有正有负，那公比一定是负数。

坑三：各项都乘以一个常数

等差数列各项乘以一个常数，还是等差数列，公差也乘以那个常数。

等比数列呢？各项乘以一个常数 $k$（$k \neq 0$），还是等比数列，公比不变——因为每一项都乘了 $k$，相比之下约掉了。

这也是等差和等比的一个区别：等差的"平移"（加常数）不改变公差，等比的"缩放"（乘常数）不改变公比。对应起来看，很有意思。

在高中数学体系里的位置

等比数列的性质，和等差数列的性质一样，是从"套公式"到"用思想"的必经之路。

但等比的性质比等差更灵活，也更容易出错——因为乘法比加法多了很多花样：正负号、零的限制、指数运算……这些都是出题人喜欢做文章的地方。

在高考中，等比数列的性质通常以选择题、填空题的形式出现，常见的考法有：

1. 直接用脚标积性质：给两项的积或和，求另外的项。属于送分题，但要注意正负号。
2. 等比中项的应用：尤其是在三角形、解析几何等其他知识点里客串出现。
3. 性质的综合运用：连续等长片段的积、新数列的构造等等。

比性质本身更重要的，是等差和等比之间的类比思想。

数学里有很多这样的"双胞胎"结构：加法与乘法、并集与交集、微分与积分…… 它们都有各自的一套理论，但结构上高度相似。学会了一套，就能通过"翻译"快速理解另一套。

等差和等比就是高中数学里最经典的一对例子。把它们对照着学，你学到的不只是两个数列的性质，更是一种类比推理的思维方式。

思考与拓展

1. 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1a_2a_3\cdots a_9 = 512$，求 $a_5$。
2. 等比数列 $\{a_n\}$ 共有 7 项，都是正数，前 7 项的乘积是 128，那么第 4 项等于多少？
3. 如果一个数列中，对于任意的 $n \ge 2$ 都有 $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$，这个数列一定是等比数列吗？如果是，怎么证明？如果不是，举出反例。（提示：想想有 0 的情况）
4. 我们知道等差数列有等差中项，等比数列有等比中项。那有没有"调和中项"？如果有，你觉得它的公式应该是什么样的？（提示：调和数列是倒数成等差的数列）

高考母题

（2018·浙江） 已知等比数列 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 的公比 $q>1$ ，且 $a_{ 3 } +a_{ 4 } +a_{ 5 } =28$ ， $a_{ 4 } +2$ 是 $a_{ 3 } { , }a_{ 5 }$ 的等差中项．数列 $\left \{ b_{ n } \right \}$ 满足 $b_{ 1 } =1$ ，数列 $\left \{ \left ( { b_{ n+1 } -b_{ n } } \right )a_{ n } \right \}$ 的前n项和为 $2n ^ { 2 } +n$ ．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列 $\left \{ b_{ n } \right \}$ 的通项公式．

展开详解

（Ⅰ） $q=2$ ；
（Ⅱ） $b_{ n } =15-(4n+3)⋅(\frac { 1 } { 2 }) ^ { n-2 }$ . 【分析】
分析:
（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；
（Ⅱ）先根据数列 $\{(b_{ n+1 } -b_{ n } )a_{ n } \}$ 前n项和求通项，解得 $b_{ n+1 } -b_{ n }$ ，再通过叠加法以及错位相减法求 $b_{ n }$ . 详解：
（Ⅰ）由 $a_{ 4 } +2$ 是 $a_{ 3 } ,a_{ 5 }$ 的等差中项得 $a_{ 3 } +a_{ 5 } =2a_{ 4 } +4$ ， 所以 $a_{ 3 } +a_{ 4 } +a_{ 5 } =3a_{ 4 } +4=28$ ， 解得 $a_{ 4 } =8$ . 由 $a_{ 3 } +a_{ 5 } =20$ 得 $8\left\{ ( { q+\frac { 1 } { q } } \right )=20$ ， 因为 $q>1$ ，所以 $q=2$ .
（Ⅱ）设 $c_{ n } =\left ( { b_{ n+1 } -b_{ n } } \right )a_{ n }$ ，数列 $\left \{ c_{ n } \right \}$ 前n项和为 $S_{ n }$ . 由 $c_{ n } =\left \{ \right\}$ 解得 $c_{ n } =4n-1$ . 由（Ⅰ）可知 $a_{ n } =2 ^ { n-1 }$ ， 所以 $b_{ n+1 } -b_{ n } =\left ( { 4n-1 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-1 }$ ， 故 $b_{ n } -b_{ n-1 } =\left ( { 4n-5 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } ,n≥2$ ， $b_{ n } -b_{ 1 } =\left ( { b_{ n } -b_{ n-1 } } \right )+\left ( { b_{ n-1 } -b_{ n-2 } } \right )+\cdots +\left ( { b_{ 3 } -b_{ 2 } } \right )+\left ( { b_{ 2 } -b_{ 1 } } \right )$                         $=\left ( { 4n-5 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } +\left ( { 4n-9 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-3 } +\cdots +7⋅\frac { 1 } { 2 }+3$ . 设 $T_{ n } =3+7⋅\frac { 1 } { 2 }+11⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\cdots +\left ( { 4n-5 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } ,n≥2$ ， $\frac { 1 } { 2 }T_{ n } =3⋅\frac { 1 } { 2 }+7⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\cdots +\left ( { 4n-9 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } +\left ( { 4n-5 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-1 }$ 所以 $\frac { 1 } { 2 }T_{ n } =3+4⋅\frac { 1 } { 2 }+4⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\cdots +4⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } -\left ( { 4n-5 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-1 }$ ， 因此 $T_{ n } =14-\left ( { 4n+3 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } ,n≥2$ ， 又 $b_{ 1 } =1$ ，所以 $b_{ n } =15-\left ( { 4n+3 } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 }$ . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“ $S_{ n }$ ”与“ $qS_{ n }$ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ $S_{ n } -qS_{ n }$ ”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

一句话总结

等比数列的性质就是等差数列性质的"乘法翻译"——和变积、差变商、算术平均变几何平均。对照着等差学，等比的性质不用背。