赌徒破产——十个筹码，想赢到一百个

原书原文（英文）

In the casino game called roulette, a common bet is to place a bet on red or black. If the ball lands on the chosen color, the gambler wins; otherwise, he loses. The probability of winning is 18/38, slightly less than 1/2. Assume that on each play of the game, the gambler bets one unit. If the gambler starts with 10 units and wishes to quit when he reaches 100 units, what is the probability that he achieves his goal?

这道题说的是什么

轮盘赌。押红或黑：

• 押中：赢一份
• 没押中：输一份
• 赢面 18/38——不是 1/2。绿色 0 和 00 让赌场略占优势

赌徒带 10 份上场，目标是赢到 100 份就收手。

问：达到目标的概率是多少？

直觉上，赌场优势才 5%，十对一百差十倍，怎么也有个两三成机会吧。

正确答案：41.95%。 看上去不低——可它离公平赌局的 90% 差了一倍有余，而其中藏着一条更硬的规律。

示意图

曲线随起始筹码上升。公平赌局是一条直线，不利赌局是向下弯的指数曲线——本金越薄，跌得越快。

算一下

建立模型

设带 $a$ 份上场、目标 $N$ 份，每局赢面 $p$、输面 $q = 1-p$。要求的是先到 $N$ 而不是先到 0 的概率 $P(a)$。

关键观察：不管 $a$ 是多少，下一局之后处境只有两种——$a+1$ 或 $a-1$。于是：

$$P(a) = p \cdot P(a+1) + q \cdot P(a-1)$$

边界条件：$P(0) = 0$（已经输光）、$P(N) = 1$（已经达成）。

一个递推式 + 两个边界，足以定解。

解方程

当 $p \ne q$ 时，这个递推的通解分两种方向。赌场占优（$p < q$）时，要用 $p/q$ 这个小于 1 的比值：

$$P(a) = \frac{1 - (p/q)^a}{1 - (p/q)^N}$$

代入 $p = 18/38$、$q = 19/38$、$a = 10$、$N = 100$：

$$\frac{p}{q} = \frac{18}{19} \approx 0.9474$$ $$P(10) = \frac{1 - (18/19)^{10}}{1 - (18/19)^{100}} = \frac{1 - 0.5824}{1 - 0.0045} = \frac{0.4176}{0.9955} \approx 0.4195$$

（更精确地，$(18/19)^{10} = 0.5824$，$(18/19)^{100} = 0.00449$，故 $P(10) = 0.4195$）

答案

$$P(10) \approx 41.95\%$$

换成大白话：十份上场、想赢到一百份，四成出头的机会。听起来不低。

但如果赌局是公平的，同样的本钱和目标，胜率是 10/100 = 90%。 赌场那 5% 的优势，把 90% 削到了 42%——砍掉了整整一半。

换个起跑线看看

起始筹码	目标 100 的达成概率	公平赌局下的胜率
1	5.29%	1%
10	41.95%	10%
50	93.72%	50%
90	99.68%	90%
99	99.98%	99%

规律有两层。

第一层：筹码越多胜率越高——公平版是直线（$a/N$），不利版是向右上弯的指数曲线。同一个 10 份，公平给 10%，不利给 42%。

第二层：不利赌局里，越多越接近线性；越穷，曲线弯得越狠。从 1 份到 10 份，胜率从 5% 跳到 42%（八倍）；从 90 到 99，只从 99.68% 到 99.98%。

公平赌局会怎样

如果 $p = q = 1/2$（没有赌场优势）：

$$P(a) = \frac{a}{N}$$

十份对一百份，胜率正好 1/10。

对比一下：

• 公平赌局（$p = q$）：$a/N = 10/100 = 10\%$

等等——公平赌局的胜率反而更低？ 10% 对 42%，公平的居然输给不利的？

把这个疑问留在下一步，它是本题最深的机关。

现代数学视角

为什么 42% 反而高过 10%

上一步留了个问题：不利赌局达成率 42%，公平赌局只有 10%。赌场占优的局，达成率反倒更高？

这不矛盾，但要看清楚 42% 是什么。

先看公平赌局。它的胜率公式 $a/N$ 极其简洁——10 份对 100 份，正好一成。这个一成是「起点占全场的比例」：因为过程无偏，最终落在任何位置的可能性均等，撞 0 与撞 100 的机会比就等于起点占两端的距离比。10 份离 0 有 10 步、离 100 有 90 步，所以赢面一成。

再看不利赌局。它多了一个向下的漂移，看似更糟——而漂移确实让路径向 0 收缩：平均要打 1214 局才见分晓，比公平版的 900 局更长，但绝大多数样本在开局不久就归零。剩下少数样本靠一波连续上岸的连胜，一路直接顶到 100。

换句话说，42% 不是「有四成机会慢慢爬上去」，而是「四成样本里爆发过一次长连胜」。把它们平均一下看似不低，可它们贡献的期望收益极不为正——单局期望恒为 $-1/38$。

所以 42% 是「偶尔走运」，不是「有机会」。 真要提高胜率，只有两条路：赌局变公平，或者本钱变厚。

为什么公平赌局也终将破产

公平赌局本钱 $a$、目标有限时，胜率 $a/N$。可如果目标无穷大（赢了多少都不收手）：

$$\lim_{N \to \infty} \frac{a}{N} = 0$$

公平赌局无限玩下去，破产概率也是 1。 这就是「赌徒必输」的数学形式——不需要赌场占优，只要你不下桌。

大数定律站在赌场那边

单次押注的期望是负的：

$$E = p \cdot 1 + q \cdot (-1) = \frac{18}{38} - \frac{19}{38} = -\frac{1}{38}$$

每局平均亏 $1/38$。玩一万局，平均亏约 263 份——而赌徒只带了 10 份。

不利赌局平均要打 1214 局才见分晓。累计期望亏损 $1214 \times \frac{1}{38} \approx 32$ 份——是他本钱的三倍有余。

赌场有无限本金（$N = \infty$ 的玩家），赌徒只有 10 份。同样的规则，不对称的破产边界。

鞅与「系统不可行」

有人发明各种下注策略（输了翻倍下注的 martingale 系统）想翻身。数学上可以证明：对公平赌局，任何下注策略的期望收益都是 0。 策略改变的是波动，不是期望。

赌场的优势不在单局，在你能玩多少局。

高中课本关联

知识点位置：

• 等比数列：$(q/p)^a$ 是标准的等比通项
• 递推数列：$P(a) = pP(a+1) + qP(a-1)$
• 概率的加法/乘法公式
• 数列极限：$N \to \infty$ 时 $a/N \to 0$

直接对应的课本例题

课本里的经典概率题：

甲乙两人比赛，每局甲胜概率 p。甲先胜 3 局者获胜，求甲最终获胜的概率。

赌徒破产是它的连续版本——把「先胜 3 局」换成「先赢到 N 份」，递推结构一模一样。

可以告诉学生的三句话

1. 公平赌局胜率 = 本钱 / 目标，简单得可疑
2. 5% 的劣势把十成机会砍成千分之三
3. 期望为负的游戏，玩得越多亏得越稳——这才是大数定律

学生最容易栽在哪

在课堂上怎么办

用两个骰子或两枚硬币做实验太慢，可以让学生用计算器直接跑模拟：

每组发一个伪随机数发生器，「小于 0.4737 记赢，否则记输」，从 10 跑到 0 或 100。跑三十组，数一数几组成功。大概率一组都没有，或最多一组。

这时再亮公式——他们刚亲眼看到自己以为「有机会」的事，在三十次试验里一次都没发生。

如果要讲马丁格尔系统，让学生试（输了翻倍下注）：多数人会在一串连败后爆掉，连十分之一的距离都没走到。 这比任何说教都管用。

课堂提问

1. 如果目标是 20 份而不是 100 份（起始仍 10 份），公平赌局胜率多少？不利赌局呢？差多少倍？
2. 「赌场优势 5%」听起来很小。同样是 10 对 100，p = 0.49 和 p = 0.4737 的胜率各是多少？
3. 如果赌徒采取「输了翻倍」下注（本金理论上无限），能改变胜率吗？为什么？
4. 保险公司、彩票公司、银行，分别站在这个公式的哪一端？

思考与拓展

基础题：

公平赌局下，起始 10 份、目标 20 份，胜率多少？如果起始 10 份、目标 200 份呢？

提示：$P = a/N$。$10/20 = 50\%$；$10/200 = 5\%$。 注意方向：目标越近，公平赌局越有利。

进阶题（算期望局数）：

公平赌局下，从 10 到 0 或 100，平均玩多少局？不利赌局呢？

提示：公平版 $= a(N-a) = 10 \times 90 = 900$ 局； 不利版的期望局数公式是 $E[T] = \frac{a}{q-p} - \frac{N \cdot P(N)}{q-p} = \frac{10 - 100\times0.4195}{1/38}$，取绝对值得约 1214 局。 比公平版的 900 局更长——但多数样本仍在开局不久就归零。 （「476 局」是常见的错算来源：把 $P(N)$ 直接当 $a$ 代进去，符号与量级都会错。）

挑战题（两个期望为什么背离）：

公平赌局胜率 10%、不利赌局 42%——可后者每局都在亏。请解释这个「反直觉」来自哪里。

提示：期望局数不同（900 局 vs 1214 局）。公平过程在每个筹码位上停留得更均匀， 你在 0 附近徘徊的时间更长；不利过程则迅速向 0 收缩，靠少数长连胜样本顶到 100。 另外：42% 是「长连胜爆发」的概率，不代表盈利——单局期望恒为 $-1/38$。

开放题（生活中的破产边界）：

提示：创业（本金有限 vs 市场无限）、考试（时间有限 vs 知识点无限）、 甚至健康（可恢复次数有限）。任何「有限对无限」的结构，都适用这个模型。

一句话总结

十个筹码想赢到一百个：公平赌局一成机会，轮盘四成二。可四成二不等于「有得赚」——那 42% 全是不利过程里的偶然长连胜，而公平赌局只要无限玩下去，破产概率同样是 1。